运筹学中的整数规划.ppt

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1、3.1整数规划数学模型MathematicalModelofIP3.2纯整数规划的求解SolvingPureIntegerProgramming3.30－1规划的求解SolvingBinaryIntegerProgrammingChapter3整数规划IntegerProgramming运筹学OperationsResearch10/7/20213.1整数规划数学模型MathematicalModelofIP10/7/2021一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这个规划称为整数规划。当要求全部变量取整数值的，称为纯整数规划；只要求一部分变量取整数值

2、的，称为混合整数规划。如果模型是线性的，称为整数线性规划。本章只讨论整数线性规划。很多实际规划问题都属于整数规划问题1.变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数2.对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变量x，当x=1表示投资，x=0表示不投资；3.人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第i人去做j工作，xij=0表示不安排第i人去做j工作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。3.1整数规划的数学模型MathematicalModelofIP10/7/2021【例3-1】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物品。他准备用来

3、装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表3-1所示。问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大？表3-1【解】设甲、乙两种物品各装x1、x2件，则数学模型为：(3-1)3.1整数规划的数学模型MathematicalModelofIP物品重量（公斤/每件）体积（m3/每件）价值(元/每件)甲乙1.20.80.0020.00254310/7/2021如果不考虑x1、x2取整数的约束（称为（3-1）的松弛问题），线性规划的可行域如图3-1中的阴影部分所示。3.1整数规划的数学模型MathematicalModelofIP图3-110/7/2021用图解法

4、求得点B为最优解：X＝(3.57，7.14)，Z＝35.7。由于x1，x2必须取整数值，实际上整数规划问题的可行解集只是图中可行域内的那些整数点。用凑整法来解时需要比较四种组合，但（4，7）、（4，8）（3，8）都不是可行解，（3，7）虽属可行解，但代入目标函数得Z=33,并非最优。实际上问题的最优解是（5，5），Z=35。即两种物品各装5件，总价值35元。由图3－1知，点（5，5）不是可行域的顶点，直接用图解法或单纯形法都无法求出整数规划问题的最优解，因此求解整数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法。还有些问题用线性规划数学模型无法描述，但可以通过设置逻辑

5、变量建立起整数规划的数学模型。3.1整数规划的数学模型MathematicalModelofIP10/7/2021【例3-2】在例3-1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为12公斤，其体积是0.02m3。背包和旅行箱只能选择其一，建立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大。（1）所装物品不变；（2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别是4和3，载重量和体积的约束为【解】此问题可以建立两个整数规划模型，但用一个模型描述更简单。引入0－1变量（或称逻辑变量）yi，令i=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。3.1整数规划的数学模型Mathema

6、ticalModelofIP10/7/2021（1）由于所装物品不变，式(3-1)约束左边不变，整数规划数学模型为（2）由于不同载体所装物品不一样，数学模型为3.1整数规划的数学模型MathematicalModelofIP10/7/2021式中M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1，y2=0)，式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时(y1=0，y2=1)，式(a)和(c)是多余的。上式也可以令：同样可以讨论对于有m个条件互相排斥、有m（≤m、≥m）个条件起作用的情形。3.1整数规划的数学模型MathematicalModelofIP10/7

7、/2021（1)右端常数是k个值中的一个时，类似式(3-2)的约束条件为（2)对于m组条件中有k（≤m）组起作用时，类似式(3-3)的约束条件写成这里yi=1表示第i组约束不起作用（如y1=1式(3-3b)、(3-3d)不起作用），yi=0表示第i组约束起作用。当约束条件是“≥”符号时右端常数项应为（3)对于m个条件中有k（≤m）个起作用时，约束条件写成3.1整数规划的数学模型MathematicalModelofIP10/7/2021【例3-3】试引入0－1变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件（1）x1+x2≤6或4x1+6x2≥10或2x1+4x2≤

8、20（2）若x1≤5，则x2≥0，否则x2≤8（3）