运筹学整数规划案例.ppt

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1、整数规划建模应用最广泛的整数规划问题是各种类型的决策问题，决策者希望模型能回答诸如：是否要执行某些项目（或某些活动），在什么时候或什么地点执行等决策问题，回答这类“是—否”或“有—无”问题可借助整数规划中的0-1整数变量。0-1整数变量只有两个选择，0由于它在数学上的特性可以很好的代表“无”或“否”，而1则可以很好地代表“有”或“是”。0-1变量由于它的特殊性也被称为二进制变量、决策变量或逻辑变量。0-1变量的作用1.xj＝1…方案j被选中0…方案j未被选中2.从n个方案中必须选中一个：3.从n个方案中最多选

2、中m个：4.方案i只有在方案j选中时，才可能被选中：5.方案i与方案j是否选中是同时的：与0－1变量相关的几个实际问题1.投资问题现有总额为b的资金可用于投资，共有n个项目可供投资者选择，已知项目j所需投资额为aj，投资后可得利润cj（j＝1，2，…，n），不妨设b，aj，cj均是整数，试问为使所得利润最大，应选取那些项目进行投资？先引入0－1变量xj，令xj＝1…对项目j投资0…否则则可得到如下整数规划问题：例1：华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益见下表：项目投资额（万元）投资

3、收益（万元）121015023002103100604130805260180该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下约束：①在项目1、2和3中必须有一项被选中；②项目3和4只能选一项；③项目5被选中的前提是项目1必须被选中。问如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，使投资收益最大。令0-1变量为决策变量，即xi＝1表示选中项目i，否则xi＝0表示项目i未被选中。则模型可以表示为：解：2.背包问题背包问题由来以久，它是从旅行者如何选择放在背包中的用品引出的。旅行者可背负的重量有限，但

4、旅行者需要携带的物品很多，如：食品、水、衣物、帐篷、急救用品等等，旅行者不可能将所有想携带的物品都统统背上，他只能选择那些最重要的物品随身携带，又不超过他可能负担的最大重量，为解决这个问题，旅行者可给每种物品指定一个重要性系数，他的目标是在小于一定重量的前提下，使所携带的物品的重要性系数之和最大。例2：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相机和通讯设备每种物品的重要系数和重量如下表所示，假定登山队员可携带的最大重量为25千克。问他如何抉择？序号1234567物品食品氧气冰

5、镐绳索帐篷照相器材通讯设备重量（千克）55261224重要系数201518148410令xi＝1表示登山队员携带物品i，xi＝0表示不带物品i。则问题可写为：Maxz=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7s.t.5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7≤25xi=1或0，i=1,2,…,7解：背包问题应用（作业）要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，包装箱的宽和高相同，但厚度和重量不同，见下表：每辆车有10.2m长的地方可以用来装箱（类似面包片），载重为40吨

6、。C5，C6，C7，三类包箱所占总空间（厚度）不超过302.7cm，试建立数学模型，尽量将这些包装箱装到平板车上去，使浪费的空间最小。例3.一公司考虑在四个城市：北京、上海、广州和武汉设立库房。这些库房负责向三个地区：华北、华中和华南地区发运货物，每个库房每月可处理货物1000件。在北京设库房每月的成本为4.5万元。上海为5万元，广州为7万元，武汉为4万元。每个地区的月平均需求量为：华北每月600件，华中每月700件，华南每月800件。发运货物的费用（元/件）见下表：华北华中华南北京200400500上海30

7、0250450广州600400250武汉300150350公司希望在满足地区需要的前提下使平均月成本最小，且还要满足以下条件：①如果在上海设立库房，则必须也在武汉设库房；②最多设立三个库房；③武汉和广州不能同时设立库房。请建立一个满足上述要求的整数规划模型。3.工厂选址运输问题设每个月从仓库i运往地区j的产品的货物数量为xij，引入0－1变量yi=1表示在Ai设立仓库，否则不设。设每个月的总花费为z，则上述问题的数学模型为Minz＝200x11+400x12+500x13+300x21+250x22+450x

8、23+600x31+400x32+250x33+300x41+150x42+350x43+45000y1+50000y2+70000y3+40000y4s.t.x11+x12+x13≤1000y1x21+x22+x23≤1000y2x31+x32+x33≤1000y3x41+x42+x43≤1000y4x11+x21+x31+x41≥600x12+x22+x32+x42≥700x13+x23+x33