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1、第十章MATLAB在控制系统中的应用(二)现代控制理论部分线性系统的标准型控制系统稳定性分析控制系统校正一、线性系统的标准型状态空间方程的线性变换线性空间方程存在线性非奇异变换 ,其中T为非奇异变换矩阵,使得其中: , ,函数:[At,Bt,Ct,Dt]=ss2ss(A,B,C,D,T)功能:用于对系统作线性非奇异变换,T为应用的非奇异变换矩阵。特征值标准型函数:[v,diag]=eig(A)函数功能:用于将矩阵A化为对角线性标准型,即特征值标准型。矩阵A为系统矩阵,返回变量v是变换矩阵,diag为求得的特征值标准型矩阵。例:线性系统为将其化为特征值标准
2、型。a=[2-1-1;0-10;021];b=[7;2;3];c=[121];[v,aa]=eig(a),bb=inv(v)*b,cc=c*vv=1.00000.70710000.707100.7071-0.7071aa=20001000-1bb=2.00007.07112.8284cc=1.00001.41420.7071约当标准型函数:[v,j]=jordan(A)功能:用于将矩阵A化为约当标准型。矩阵A为系统矩阵,返回变量v是变换矩阵,j为求得的约当标准型矩阵。例:系统为求约当标准型。a=[010;001;8-126];[v,aa]=jordan(a)v=4-2
3、18001680aa=210021002能控能观标准型从能控和能观的角度来说,现代控制理论将其分为能控Ⅰ型、能控Ⅱ型和能观Ⅰ型、能观Ⅱ型。MATLAB中也提供了相关的函数。能控能观的判定Ⅰ函数:uc=gram(A,B)uo=gram(A,B)函数1:根据式计算能控矩阵对(A,B)的克莱姆矩阵。如果rank(Uc)=n,则系统是状态完全能控的。函数2:根据式计算能观测矩阵对(A,C)的克莱姆矩阵。如果rankUo=n则系统是状态完全能观测的。能控能观的判定Ⅱ函数:uc=ctrb(A,B)uo=obsv(Aَ,C´)函数1:构造能控判别矩阵为如果rankUc=n,则系统是
4、状态完全能控的。函数2:构造能观测判别矩阵为:如果rankUo=n,则系统是状态完全能测的。能控能观分解函数函数:[Ac,Bc,Cc,Tc,K]=ctrbf(A,B,C)[Ao,Bo,Co,To,K]=obsvf(A,B,C)函数1:作线性系统的能控性分解。将系统分解为能控子空间为 ,返回矩阵Tc为变换矩阵,向量K的元素指明既能控又能观测状态。函数2:作线性系统的能观测性分解。将系统分解为能观测子空间为 ,返回矩阵To为变换矩阵,返回向量K的元素指明既能控又能控观测状态。例:作能控子空间分解判别该系统的能控性。a=[00-1;1
5、0-3;01-3];b=[1;1;0];c=[01-2];rank(ctrb(a,b))ans=2不满秩,系统状态不是完全能控的。作能控子空间分解[ac,bc,cc,Tc,k]=ctrbf(a,b,c)ac=-1.0000-0.000002.1213-2.50000.86601.2247-2.59810.5000bc=0.00000.00001.4142cc=1.7321-1.22470.7071Tc=-0.57740.5774-0.5774-0.40820.40820.81650.70710.70710k=110既能控又能观测状态为k(3),不能控但能观测状态为k(
6、1),能控但不能观测状态为k(2)。能控子空间为as=ac(2:3,2:3)as=-2.50000.8660-2.59810.5000bs=bc(2:3)bs=0.00001.4142cs=cc(2:3)cs=-1.22470.7071例:系统的状态方程为确定系统的能控能观子系统。例:已知系统分别作出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅰ型。输入系统参数矩阵a=[-6.5-5-7.5;-6.5-6-6.5;7.567.5];b=[0.5;0.5;0.5];c=[167];d=[0];能控标准Ⅰ型tc=ctrb(a,b) %tc=[b,ab,a2b]itc=inv(tc)ac1=it
7、c*a*tcbc1=itc*bcc1=c*tctc=0.5000-2.00005.50000.5000-3.000011.5000-0.50003.0000-10.5000itc=6913156011ac1=00-610-801-5bc1=100cc1=011能观标准Ⅰ型ito=obsv(a,c)%ito=[CT,(CA)T,(CA2)T]Tto=inv(ito)ao=ito*a*tobo=ito*bco=c*toito=167716-7-5-14to=0.10260.31410.18590.35900.22440.2756-0.1795-0.237