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1、解析法在解题中的应用笛卡尔曾经在他的哲学著作《指导思维的法则》中提出了“通用数学”的思路，即任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。其中，数学问题向代数问题的转化非常明确。建立平面（空间）直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可。即运用“几何问题代数化，代数问题坐标化”的思想解题。一、平面向量问题.例1若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则＝__________.图(1)思路点拨：建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可。以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图(1)所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知设，则由得：，
2、点M的坐标为，例2（2016年春四校联考11）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，记，则的值为（）A.B.C.D.思路点拨：建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可。如图，以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件可知：，，又如《三维设计》P111-8,P112例1，P119-8，《寒假作业》（一）与（三）的15二、平面几何问题又如《三维设计》P221-8三、立体几何问题空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住
3、实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性.利用法向量求解空间角的关键在于“四破”．第一破“建系关”，第二破“求坐标关”；第三破“求法向量关”；第四破“应用公式关”，熟记线面成的角与二面角的公式，即可求出空间角．例1．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成角为________．[解析] 由条件知AC、BC、CC1两两垂直，以C为原点，CB，CA，CC1
4、分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(0，，0)，B1(1,0，)，M(0,0，)，A1(0，，)，∴＝(1，－，)，＝(0，－，－)，cos〈，〉＝＝0，∴〈，〉＝，即直线AB1与A1M所成角为.例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.[来源:学科网](1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值．(1)证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB
5、＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)解 连接AC，由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)，因此＝，＝(0，－1,1)．设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，所以x＝y＝z，取z＝1，
6、则m＝(，1,1)．由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，则cos〈m，〉＝＝＝，所以二面角FBDC的余弦值为.例3如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．[审题视点]建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法求解，第(2)问中设＝λ，由ES⊥平面AMN可得λ值．解 (1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxy
7、z.依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E（，1,0）∴＝（－，0，－1），＝(－1,0,1)．∵cos〈，〉＝＝＝－，∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN.∵＝(0,1,1)，可设＝λ＝(0，λ，λ)，又＝，－1,0，∴＝＋＝，λ－1，λ.由ES⊥平面AMN，得即故λ＝，此时＝（0，，），
8、
9、＝.经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝.例4如图1，∠A
10、CB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．(1)当BD的长为多少
