第五章-扩域----伊犁师范学院数学学院.doc

《第五章-扩域----伊犁师范学院数学学院.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章扩域●课时安排约2课时●教学内容（《近世代数基础》（1978年修订本）张和瑞著）在这一章里我们要对于域做一些进一步的讨论。我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域做一些讨论。§5.1扩域、素域我们先说明一下，研究域所用的方法。定义一个域叫做一个域的扩域（扩张），假如是的子域。我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的，而复数域是在它的子域实数域上建立起来的。研究域的方法就是：从一个给定的域出发，来研究它的扩域。这就有如何选择域的问题。我们有以下的事实。定理1令是一个域。若的特征是，那么含有一个与有理数域同构的子域；若的特征是

2、素数，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，（）是由生成的主理想。证明：域包含一个单位元。因此也包含所有（是整数）。令是所有作成的集合。那么：显然是整数环到的一个同态满射。情形1的特征是。这时是一个同构映射：但包含的商域。由Ⅲ，10，定理4，与的商域，也就是有理数域同构。情形2的特征是素数。这时µ此处µ是的核。但=0所以µ，因而µ。由Ⅳ，3，引理2，是一个最大理想。另一方面所以，而µ=，因而（）有理数域和（）显然都不含真子域。定义一个域叫做素域，假如它不含真子域。由定理1知道：一个素域或是与有理数域同构，或是与（）同构。因此定理1的另一形式是定理2令是一个域。若的特征是，那么含有一个与有

3、理数域同构的素域；若的特征是素数，那么包含一个与同构的素域。由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域，我们就掌握了所有的域。但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域的扩域来得容易。因此我们研究域的普通方法是：设法决定一个任意域F的所有扩域E。现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构。令E是F的一个扩域。我们从E里取出一个子集S来。我们用F（S）表示含F和S的E的最小子域，把它叫做添加集合S于F所得的扩域。F（S）的存在容易看出。因为，E的确有含F和S的子域，例如E本身，一切这样的子域的交集显然是含F和S的E的最小子域。更具体的说，F（S）刚好包含E的一切可以写成（1）形式的元。这里是S中的任

4、意有限个元素，而和（）是F上的这些的多项式。这是因为：F（S）既然是含有F和S的一个域，它必然含有一切可以写成形式（1）的元；另一方面，一切可以写成形式（1）的元已经作成一个含有F和S的域。适当选择S，我们可以使E=F（S）。例如S=E，就可以作到这一点。实际上，为了作到这一点，常常只须取E的一个真子集S。若S是一个有限集：S={}，那么我们也把F（S）记作F（）叫做添加元素于F所得的子域。为了便于讨E是域F的一个扩域，而和是E的两个子集。那么F（）（）=F（）=F（）（）证明：F（）（）是一个包含F、和的E的子域，而F（）是包含F和的E的最小子域。因此（2）F（）（）F（）另一方面F（）

5、是一个包含F、和，因而是一个包含F（）和的E的子域。但F（）（）是包含F（）和的E的最小子域，因此（3）F（）（）F（）有（2）和（3），得F（）（）=F（）同样可以得到F（）（）=F（）证完根据定理3，我们可以添加一个有限集归结为陆续添加单个元素，例如F（）=F定义添加一个元素于域F所得的扩域F（）叫F的单扩域（扩张）。单扩域是最简单的扩域。我们在下一节将先讨论这种扩域结构。●教学重点扩域与素域的定义。●教学难点定理1的证明。●教学要求使学生掌握扩域与素域的定义，利用扩域和素域的定义以及定理1，2，3能证明相关的命题。●布置作业习题。●教学辅导利用参考书，给学生辅导相关的内容。§5.2单

6、扩域●课时安排约2学时。●教学内容（《近世代数基础》（1978年修订本）张和瑞著）假设E是F的扩域，而是E的一个元。要讨论单扩域F（）的结构，我们把E的元分成两类。定义叫做域F的一个代数元，假如存在F的不都等于零的元，使得假如这样的不存在，就叫做F上的一个超越元。若是F的一个代数元，F（）就叫做F的一个单代数扩域；若是F的一个超越元，F（）就叫做F的一个单超越扩域。单扩域的结构通过以下定理可以掌握。定理1若是F的一个超越元，那么F（）F[]的商域这里F[]是F上的一个未定元的多项式环。若是F的一个代数元，那么F（）F[]/这里是F[]的一个唯一确定的、最高系数为1的不可约多项式，并且。证明

7、F（）包含F上的的多项式环我们知道，是F上的未定元的多项式环F[]到的同态满射。现在我们分两个情形来看。情形1是F的一个超越元。这时以上的映射是同构映射：F[]F[]由Ⅲ，10，定理4，F[]的商域F[]的商域由Ⅲ，10，定理3，我们可以知道，（1）F[]的商域F[]另一方面，F[]的商域包含F也包含，因此，由F（）的定义（2）F（）F[]的商域由（1）和（2）得F（）=F[]的商域因而F（）F[]的商域情形2是F的一个