第10讲-无限深球方势阱.ppt

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1、量子力学光电子科学与工程学院王可嘉第十讲无限深球方势阱三维各向同性谐振子1目录一、中心力场的径向方程的回顾二、无限深球方势阱三、三维各向同性谐振子2一、中心力场的径向方程的回顾(1)设质量为的粒子在中心势场中运动，则哈密顿量：考虑到中心势场是球对称的，采用球坐标能量本征方程写为：在给定后可确定本征态和本征值3一、中心力场的径向方程的回顾(2)能量本征方程写为：根据分离变量法：组成力学量完全集因此既是的本征函数，也是和的共同本征函数，由此可得：4一、中心力场的径向方程的回顾(3)将代入能量本征方程：得到关于的径向方程：令：有：称为径向波函数，取决于的形式。5二、无限深球方势阱(1)无限深

2、球方势阱：能量本征方程写为：解可写为：其中满足径向方程：1、态情况（即的情况）6二、无限深球方势阱(2)态情况在边界条件下求解方程势阱内：令又因为所以能量本征值：由归一化条件：7二、无限深球方势阱(3)2、非态情况（即的情况）势阱内：令径向方程写为：称为球Bessel方程，其解：称为球Bessel函数：边界条件：下，有令因此由可以求出根，表示的节点数。8二、无限深球方势阱(4)画图求解Mathematica9二、无限深球方势阱(5)，所以令由归一化条件可得：10二、无限深球方势阱(6)3、解的讨论(1)、能级：11二、无限深球方势阱(7)(2)、本征函数：与相对应的能量本征函数：其中：

3、所以当和确定后，给定，但即共有个，每个对应个所以能级是度简并12二、无限深球方势阱(8)(3)、简并态的分类每个对应个，即能级是度简并因为是的共同本征函数，因此可以利用和的本征值对应的量子数和对进行分类，从而保证对应同一能级的个不同本征态之间的正交性得到保证：13二、无限深球方势阱(9)以为例：对应个即：为三重简并。正交归一性表示为：因此可见，利用力学量完全集，可以解决对应同一能级的不同简并态之间的正交性问题！14三、三维各向同性谐振子(1)三维各向同性谐振子势能项：具有中心对称性，径向方程写为：采用自然单位，令，有：求解思路：可令，将关于的方程转换为的方程，而则从和时的渐进行为中获得

4、。15三、三维各向同性谐振子(2)1、波函数的统计诠释对波函数的渐进行为的要求对任意波函数，若，则是的奇点，粒子出现在概率应该为0。设体积元是以为球心、半径为的小球，如果要求积分能代表粒子出现在内的概率，由前面的分析，应该有若16三、三维各向同性谐振子(3)2、径向波函数在时的渐进行为：是方程的奇点，在其领域内，方程化简为：在的领域内，设，代入方程，有：即：时：必须舍去。所以时：17三、三维各向同性谐振子(4)3、径向波函数在时的渐进行为：也是方程的奇点，渐进方程为：解为：因为不满足束缚态条件，舍去所以时：因此可将径向方程的解设为：18三、三维各向同性谐振子(5)4、三维各向同性谐振子

5、径向方程的解（1）将带入上述径向方程，化简为：令上述方程化为：方程的解为：，称为合流超几何函数。19三、三维各向同性谐振子(6)4、三维各向同性谐振子径向方程的解（2）所以不能作为波函数（不符合束缚态条件），为满足束缚态条件，必须中断为一个多项式，即要求或者是负整数。即：加上自然单位20三、三维各向同性谐振子(7)5、三维谐振子的能量本征值与径向方程的本征态（1）令：所以径向方程的解为:根据归一化条件，可得:可证明：21三、三维各向同性谐振子(8)5、三维谐振子的能量本征值与径向方程的本征态（2）与相对应的能量本征函数为：其中：可证明：22三、三维各向同性谐振子(9)6、解的讨论能级的

6、简并度(1)、能级均匀分布，相邻能级差都是(2)、因为，所以对于同一个，有的不同组合与其对应，但每给定一组，就有一个能量本征值，对应的能量本征态为可证明：简并度时，，即能级是不简并的。23三、三维各向同性谐振子(10)6、三维谐振子在直角坐标系中的解(1)三维谐振子势能项：线性谐振子选为力学量完全集，其共同本征态函数应该为其各自本征函数的积，即：24三、三维各向同性谐振子(11)6、三维谐振子在直角坐标系中的解(2)为力学量完全集的共同本征态函数。相应的能量本征值为：能级也是简并的，简并度为：25三、三维各向同性谐振子(12)7、直角与球坐标系下解的关系球坐标下为的共同本征态。直角坐标

7、下为的共同本征态。因为是同一问题在不同坐标系下的解，应该有相互联系以为例，能级是三重简并，即有三个态：可证明：26下一讲氢原子碱金属原子27