最佳平方逼近方法.docx

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1、2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数肖夏，29，R数学12-1班一、算法理论设函数组φ0,φ1,…，φm都是[a,b]上的连续函数，并且在[a,b]上线性无关。以此函数组为基，生成空间C[a,b]上的一个子空间H=Span{φ0,φ1,…，φm}则H中的任意一个元素为px=j=0mcjφjx对空间C[a,b]的任意两个函数f，g，定义内积f,g=abωxfxgxdx对于给定的函数f(x)∈C[a,b]，若p*x∈H，满足f-p*,f-p*=minp∈Hf-p,f-p则称p*x为子空间H中对于f(x

2、)的最佳逼近平方元素。特别地，若φjx=xj，j=0,1,…m则称满足条件的p*x∈H，为函数fx在区间[a,b]上带权ωx的m次最佳平方逼近多项式。设f(x)∈C[a,b]，p*x∈H是子空间H中对于f(x)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是f-p*,φj=0，(j=0,1,…,m)或对于任意一个px，总有f-p*,p=0。求最佳平方逼近元素p*x=k=0mck*φkx，只要求出ck*。因f-p*,φj=f,φj-k=0mck*φi,φj=0得k=0mck*φi,φj=f,φj得φ0,φ0⋯φ0,φm⋮⋱⋮φm,φ0⋯φm,

3、φmc0*⋮cm*=f,φ0⋮f,φm求出ck*，带入p*x=k=0mck*φkx即可。二、算法框图开始定义权函数ω(x)，和函数f(x)输入a，b，m否m≥0是fork=1:n+1forj=1:n+1结束lk,j=abωxfxφxdx结束结束yk=abfxφxdx结束c(i)结束px=c(i)φix三、算法程序functionS=abc(n,a,b)//创建一个函数，里面填入次数，和区间范围base=inline('x^(j-1)','x','j');///定义quan=inline('1','x');fork=1:(n+1

4、)forj=1:(n+1)symsxl(k,j)=int(base(x,k)*base(x,j)*quan(x),x,a,b);endy(k)=int(base(x,k)*(sqrt(x^2+1)),x,a,b);//红色字体是fxendl;y';c=vpa(inv(l)*y',3)p=0;fori=1:(n+1)p=p+c(i)*base(x,i);endp四、算法实现例1.求fx=x2+1在0,1上的一次最佳平方逼近多项式。解：f,φ0=01x2+1dx=12ln1+2+22≈1.147f,φ1=01xx2+1dx=22-

5、13≈0.609由方程组1121213c0c1=1.1470.609c0=0.934，c1=0.427，p1*x=0.427x+0.934第一题的解：例2.求fx=sinx在0,π3上的一次最佳平方逼近多项式。解：f,φ0=0π3sinxdx=12-1=-0.500f,φ1=0π3xsinxdx=32-π6≈0.342由方程组1121213c0c1=-0.5000.342c0=0.036，c1=0.843，p1*x=0.843x+0.036第二题的解：例3.求fx=arctan⁡x在0,1上的2次最佳平方逼近多项式。解：f,φ

6、0=01arctanxdx=π4-log22=0.439f,φ1=01xarctanxdx=π4-12≈0.285f,φ2=01x2arctanxdx=π12+log⁡(2)6-16≈0.211由方程组11213121314131415c0c1c2=0.4390.2850.211c0=-0.005，c1=1.080，c2=-0.289，p1*x=-0.289x2+1.080x-0.289第三题的解：例4.求fx=e2x在0,1上的一次最佳平方逼近多项式。解：f,φ0=01e2xdx=12e2x-12≈3.195f,φ1=01x

7、e2xdx=14e2+14≈2.097由方程组1121213c0c1=3.1952.097c0=0.195，c1=6.000，p1*x=6.000x+0.195第三题的解：