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《备战2021届高考数学冲破压轴题讲与练04 应用导数研究函数的极（最）值（解析版）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题04应用导数研究函数的极（最）值【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导数研究函数的极（最）值问题的主要命题角度有：已知函数求极值(点)、已知极值(点)，求参数的值或取值范围、利用导数研究函数的最值、函数极值与最值的综合问题.本专题就应用导数研究函数的极（最）值问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.一、函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函
2、数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．二、函数最值的基本求法1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和
3、最小值的步骤：第一步，求函数在(a，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．三、求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单
4、调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【压轴典例】例1.(2020·天津高考·T20)已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②求函数g(x)=f(x)-f'(x)+的单调区间和极值;(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有>.【解析】(1)①当k=6时,f(x)=x3+6lnx,f'(x)=3x2+.可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(
5、x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.②依题意,g(x)=x3-3x2+6lnx+,x∈(0,+∞).从而可得g'(x)=3x2-6x+-,整理可得:g'(x)=,令g'(x)=0,解得x=1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如表:x(0,1)1(1,+∞)g'(x)-0+g(x)单调递减极小值单调递增所以,g(x)的减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.(2)由f(x)=x3+klnx,得f'(x)=3x2+.对任意的x1,x2∈[1
6、,+∞),且x1>x2,令=t(t>1),则(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2(f(x1)-f(x2))=(x1-x2)-2=--3x2+3x1+k-2kln=(t3-3t2+3t-1)+k.(ⅰ)令h(x)=x--2lnx,x∈(1,+∞).当x>1时,h'(x)=1+-=>0,由此可得h(x)在(1,+∞)上单调递增,所以当t>1时,h(t)>h(1),即t--2lnt>0.因为x2≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3,所以(t3-3t2+3t-1)+k≥(t3-3t2+3t-1)-3=t3-3t
7、2+6lnt+-1.(ⅱ)由(1)②可知,当t>1时,g(t)>g(1),即t3-3t2+6lnt+>1,故t3-3t2+6lnt+-1>0.(ⅲ)由(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)可得(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2(f(x1)-f(x2))>0.所以,当k≥-3时,对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有>.例2．（2021·江苏苏州市·高三）已知函数，（为常数）（1）求函数在处的切线方程;（2）设．（ⅰ）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，求实数的取值范围;（ⅱ）若为奇数，不等式在上恒成立，求实数的最小值．【答案】
8、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．【详解】（1），，当时，．∴在处的切线方程为，即．（2）（ⅰ）为偶数时，，，令，则．∵且，∴在恒成立．∴在单调递减，其中，．∵在有极值点，∴且，即．当时，，使．令，即，在单调递增；令，即，在
