连续计息问题.doc

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1、实验二 连续计息问题【实验目的】1.加深对极限、微分求导、极值等基本概念的理解。2.讨论了微分学中的实际应用问题。3.掌握MATLAB软件中有关极限、级数、导数等命令。【实验内容】若银行一年活期年利率为,那么储户存10万元的人民币,一年到期后结算额为10×(1+)万元。如果银行允许储户在一年内可任意次结算,在不计利息税的情况下,若每三月结算一次,由于复利,储户存的10万元一年后可得10×1+/4万元,显然这比一年结算一次要多,因为多次结算增加了复利。结算越频繁,获利越大。现在我们已进入电子商务时代,允许储户随时存款或取款,如果一个储户连续不断存款取款,结算本息

2、的频率趋于无穷大,每次结算后将本息全部存入银行,这意味着银行要不断地向储户支付利息,称为连续复利问题。连续复利会造成总结算额无限增大吗?随着结算次数的无限增加,一年后该储户是否会成为百万富翁?如果活期存款年利率为2.9%,那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定为多少才是等价的?【实验准备】  1.极限和连续  极限是高等数学最基本的概念,它带来了很多深刻的结果。  数列极限:如果对>0,存在正整数,使得当>时有          

3、-

4、<                      (1)则称为数列的极限,或称收敛于。记为          =,或→     

5、            (2)直观上表示:趋于无穷大时,无限接近。函数极限:如果当→时,有→,则称为函数当→时时的极限。记为=                     (3)若仅当→且>,(或<)时有→,则称为当→时的右极限(或左极限),记为(或)。当=时,的极限存在且等于这个值。  连续:若=(=),则在处右连续(或左连续)。若在处右连续且左连续国,则称在处连续。若在区间(,)内每一点都连续,则称在开区间(,)连续。进一步,若还在处右连续而且在处左连续,则称在闭区间[,]连续。  定理1151/5 连续函数在闭区间上必然能达到最大值和最小值,且可取得最大值和

6、最小值间的任意值。  2.微分与导数  设与是相关联的两个变量,用函数表示为=。对于的一个无限小的增量=-(称为差分),引起的一个无限小的增量=-,若          =+                  (4)其中是不依赖于的常数,而是的高阶无穷小量(即/→0),那么称在可微,并记为          =                      (5)其中,分别称为和的微分。  函数在点=的导数定义为          =            (6)它反映了在点附近函数的变化率。当>0,函数在点附近是上升的,反之<0,函数在点附近是下降的,而当=0,

7、往往(但不一定)标志函数在点达到局部极小或局部极大。定理2 函数在点附近达到局部极小(或局部极大)的充分条件是=0,且>0,或<0。从几何意义上说,是函数在点切线的斜率,显然有=,可见导数是微分的商,所以也称微商。  由导数的定义,若在=处可导,设>0且足够小,由(6)式的右极限得          ≈由(6)式的左极限得          ≈分别称为向前差商和向后差商。事实上,对于连续函数,两式正好求得右导数和左导数,两式平均得          ≈             (7)称为中心差商,用中心差商求得的导数精度较高。  Taylor公式是微分学中一个

8、非常重要的结论,当在含有某个开区间内具有直到+1阶的导数,那么当(,)有          =+++            …++     (8)其中是与之间的某个值。Taylor公式表明,一个可微性很好的函数可局部地用多项式函数近似地代替。  特别地,当=0可得到微分中值定理          -=             (9)它表明在与之间存在一点,使得恰为从到151/5的平均变化率,但中值定理不能给出的确定位置。当离不远,且在附近连续,有          ≈+            (10)它表明任意光滑函数可局部线性化,常用于非线性函数的近似分析和

9、计算。  3.求极限、导数和MATLAB命令  求函数的极限,使用命令limit  limit(F,x,a) 返回符号表达式F当x→a时的极限;.  limit(F,x,a,'right') 返回符号表达式F当x→a时的右极限;limit(F,x,a,'left') 返回符号表达式F当x→a时的左极限。  求函数的导数和Taylor展开式,可使用命令diff、polyder和Taylor  Y=diff(X) 返回向量X的差分;Y=diff(X,n) 返回向量X的n阶差分;  diff(S,'v') 返回符号表达式S对变量v的导数;  diff(S,'v',n

10、) 返回符号表达式S对变量v的n阶导数

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