连续计息问题.doc

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1、实验二　连续计息问题【实验目的】1．加深对极限、微分求导、极值等基本概念的理解。2．讨论了微分学中的实际应用问题。3．掌握MATLAB软件中有关极限、级数、导数等命令。【实验内容】若银行一年活期年利率为，那么储户存10万元的人民币，一年到期后结算额为10×（1＋）万元。如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若每三月结算一次，由于复利，储户存的10万元一年后可得10×1＋/4万元，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款取款，结算本息

2、的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行要不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？如果活期存款年利率为2.9%，那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定为多少才是等价的？【实验准备】　　1．极限和连续　　极限是高等数学最基本的概念，它带来了很多深刻的结果。　　数列极限：如果对＞0，存在正整数，使得当＞时有　　　　　　　　　　

3、－

4、＜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）则称为数列的极限，或称收敛于。记为　　　　　　　　　　＝，或→　　　　　

5、　　　　　　　　　　　　（2）直观上表示：趋于无穷大时，无限接近。函数极限：如果当→时，有→，则称为函数当→时时的极限。记为＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）若仅当→且＞，（或＜）时有→，则称为当→时的右极限（或左极限），记为（或）。当＝时，的极限存在且等于这个值。　　连续：若＝（＝），则在处右连续（或左连续）。若在处右连续且左连续国，则称在处连续。若在区间（，）内每一点都连续，则称在开区间（，）连续。进一步，若还在处右连续而且在处左连续，则称在闭区间[，]连续。　　定理1151/5　连续函数在闭区间上必然能达到最大值和最小值，且可取得最大值和

6、最小值间的任意值。　　2．微分与导数　　设与是相关联的两个变量，用函数表示为＝。对于的一个无限小的增量＝－（称为差分），引起的一个无限小的增量＝－，若　　　　　　　　　　＝＋　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）其中是不依赖于的常数，而是的高阶无穷小量（即/→0），那么称在可微，并记为　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5）其中，分别称为和的微分。　　函数在点＝的导数定义为　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　（6）它反映了在点附近函数的变化率。当＞0，函数在点附近是上升的，反之＜0，函数在点附近是下降的，而当＝0，

7、往往（但不一定）标志函数在点达到局部极小或局部极大。定理2　函数在点附近达到局部极小（或局部极大）的充分条件是＝0，且＞0，或＜0。从几何意义上说，是函数在点切线的斜率，显然有＝，可见导数是微分的商，所以也称微商。　　由导数的定义，若在＝处可导，设＞0且足够小，由（6）式的右极限得　　　　　　　　　　≈由（6）式的左极限得　　　　　　　　　　≈分别称为向前差商和向后差商。事实上，对于连续函数，两式正好求得右导数和左导数，两式平均得　　　　　　　　　　≈　　　　　　　　　　　　　（7）称为中心差商，用中心差商求得的导数精度较高。　　Taylor公式是微分学中一个

8、非常重要的结论，当在含有某个开区间内具有直到＋1阶的导数，那么当（，）有　　　　　　　　　　＝＋＋＋　　　　　　　　　　　　…＋＋　　　　　（8）其中是与之间的某个值。Taylor公式表明，一个可微性很好的函数可局部地用多项式函数近似地代替。　　特别地，当＝0可得到微分中值定理　　　　　　　　　　－＝　　　　　　　　　　　　　（9）它表明在与之间存在一点，使得恰为从到151/5的平均变化率，但中值定理不能给出的确定位置。当离不远，且在附近连续，有　　　　　　　　　　≈＋　　　　　　　　　　　　（10）它表明任意光滑函数可局部线性化，常用于非线性函数的近似分析和

9、计算。　　3．求极限、导数和MATLAB命令　　求函数的极限，使用命令limit　　limit(F,x,a)　返回符号表达式F当x→a时的极限；.　　limit(F,x,a,'right')　返回符号表达式F当x→a时的右极限；limit(F,x,a,'left')　返回符号表达式F当x→a时的左极限。　　求函数的导数和Taylor展开式，可使用命令diff、polyder和Taylor　　Y=diff(X)　返回向量X的差分；Y=diff(X,n)　返回向量X的n阶差分；　　diff(S,'v')　返回符号表达式S对变量v的导数；　　diff(S,'v',n

10、)　返回符号表达式S对变量v的n阶导数