2017年全国高中数学联赛模拟试题13.doc

《2017年全国高中数学联赛模拟试题13.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2017年全国高中数学联赛模拟试题13第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．若正实数满足和，则的值是．2．如果△ABC中，tanA,tanB，tanC都是整数，且A>B>C，则tanB=3．设，当时，的小数点后第一位数字是．4．若，则的值是．5．函数满足则的值是．6．在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4,OD=l，则四面体ABCD体积的最大值为．7．设是椭圆的长轴端点，是椭圆上异于的点，自分别作直线则的交点轨迹方程是8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上中的某个数，如果他最后写上去的两数之和

2、是一个质数，那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为的概率为二、解答题：本大题共3小题，共56分.9．设函数．（l）证明：当时，；(2)数列｛｝满足，证明：数列｛｝递减且．10．设抛物线和双曲线交于点，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点，切双曲线于点．求的面积．11．设是3个模不大于1的复数，是方程的两个根．证明：对j＝1，2，3，都有．2017年全国高中数学联赛模拟试题13加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）设为给定素数，是个整数，均不被整除，且模互不同余，设其中．记这里，表示整数被除的余数．证明：二、（本小题满分40分）如图，在锐角中，

3、已知，的角平分线与边交于点，点分别在边上，使得四点共圆且满足．求证：的内心是的外心．三、（本题满分50分）对于任意一个实数数列，定义数列如下：．求最小的正数，使得对任意实数数列及一切正整数，均有四、（本题满分50分）对于任意的整数．证明：数列自某项起，各项对同余．2017年全国高中数学联赛模拟试题13第一试参考解答（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．若正实数满足和，则的值是．解：令，则，从而解得．因此．2．如果△ABC中，tanA,tanB，tanC都是整数，且A>B>C，则tanB=解：由于A>B>C，所以B,C都是锐角

4、，tanB,tanC都是正整数，这样所以A是锐角．这时，．我们有,即．但是，比较可知只可能．3．设，当时，的小数点后第一位数字是．解：由于，这两式相乘得．因此，小数点后第一位数字是7．4．若，则的值是．解：注意满足，从而．又注意的虚部相等，结合可知，只需针对进行计算即可．这时我们有．将代入，得．故本题答案为．5．函数满足则的值是．解：记，其中等号右端有个．那么．注意从到这个过程中，的个数减少了2．同样的推理可知．继续此过程，就有.6．在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4,OD=l，则四面体ABCD体积的最大值为．解：首先，固定A，B,C,D四点时，要使ABCD的

5、体积最大，则D点到平面ABC的距离应最大．但D点在以O为球心，1为半径的球面上运动，故取最大值时，OD⊥平面ABC．设O在平面ABC的投影点为E，且

6、OE

7、=x．那么，D到ABC的距离为1+x．而EA=EB=EC=，可知△ABC的面积．（注：这里用到，若A,B,C是半径为R的圆上三点，则△ABC的面积．）因此，ABCD的体积．考虑函数，易知,可见在（0,3）上有唯一的临界点，在（0,3）的最大值为=36.从而所求最大值为．7．设是椭圆的长轴端点，是椭圆上异于的点，自分别作直线则的交点轨迹方程是8．某人在黑板上玩写数字的游戏，每次他随机地写上中的某个数，如果他最后写上去的两数之和是

8、一个质数，那么游戏结束．则他完成游戏时所写的最后一个数为的概率为二、解答题：本大题共3小题，共56分.9．设函数．（l）证明：当时，；(2)数列｛｝满足，证明：数列｛｝递减且．解：(1)待证式等价于，即．令，则，可见，在上单调增，因此当时，．(2)记，则．要证明｛｝递减，只需证明当时，．事实上，等价于，也即，注意，可见上式也等价于，即，这由（l）即证．要证明，只需证明当时，．这等价于．也即．为证此式，令，则，且等号成立当且仅当，即．因此在上单调增，．于是得证．10．设抛物线和双曲线交于点，这两条曲线的公切线分别切抛物线于点，切双曲线于点．求的面积．11．设是3个模不大于1的复数，

9、是方程的两个根．证明：对j＝1，2，3，都有．证由对称性，只需证明：．不妨设。令，由得，因此，若，结论成立．另一方面，由，得，所以，因此，当时，结论成立．下设，．如图，考虑以为顶点的三角形．记和分别是三角形ABC的边BC上的中线和高，则．由于，所以，由此推出都小于．又因为，所以，即△为锐角三角形．所以，△外接圆半径，于是，矛盾！因此这种情况不可能发生．综上所述，原命题成立．2017年全国高中数学联赛模拟试题13加试（时间：9:40-12:10满分：180）一、（本小题满分40分）