一、n维向量的概念二、 n维向量的表示方法三、向量组的线.ppt

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1、一、n维向量的概念二、n维向量的表示方法三、向量组的线性组合第一节向量组及其线性组合定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、n维向量的概念例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量二、n维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用　　　　　　等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用　　　　等表示，如：注意１.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３.当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.叫做维向量空间．叫做维向量空间　中的维超

2、平面．当n≤3时,n维向量可以把有向线段作为几何形象,但当n>3时,n维向量就不再有这种几何形象.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如三、向量组的线性组合向量组,,…，　称为矩阵A的行向量组．反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.结论：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应.定义2线性组合向量能由向量组线性表示．定理1定义3向量组能由向量组线性表示向量组等价．从而定理2向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a

3、2,…,am,b1,b2,…,bl)的秩，即R(A)=R(A,B).推论向量组A：a1,a2,…,am与向量组B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.例1设证明：按定理1，证矩阵A=(a1,a2,a3)与B=(A,b)的秩相等.定理3向量组及其线性表示四、小结作业：P1091；2一、线性相关性的概念二、线性相关性的判定第二节向量组的线性相关性定义4则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．一、线性相关性的概念注意1.对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.向量组（当时）线性相关的充分必要条件

4、是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有二、线性相关性的判定故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数　　　　　　使因中至少有一个不为0，不妨设　　　则有即能由其余向量线性表示.证毕.线性相关性在线性方程组中的应用结论定理4下面举例说明定理的应用.解例１解例２分析证定理5说明问题：已知向量组①a1,a2,…,as与②b1,b2,…,bt，且①中每个向量不能由②线性表示，②中每个向量也不能由①线性表示。问a1,a2,…,as,b1,b2,…,bt是否线性无关？1.线性相关与线性无关的概念

5、；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）2.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结作业：P1103；4思考题证明（１）、（２）略．（３）充分性必要性思考题解答一、最大线性无关向量组二、最大无关组的等价定义三、矩阵与向量组秩的关系第三节向量组的秩定义5最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组二、最大无关组的等价定义定理6三、矩阵与向量组秩的关系结论说明事实上定理2’向量组b1,b2,…,bl能由向量组a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是R(a1,a2,…,am)=R(a1,a2,…,am,b1,b2,…,bl)依据向量组的秩的

6、定义及定理6可知前面介绍的定理1、2、3、4中出现的矩阵的秩都可以改为向量组的秩，例如定理2可叙述为这里记号R(a1,a2,…,am)既可理解为矩阵的秩，也可以理解成向量组的秩.定理3’由定理3即得R(B)≤R(A)１．最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩３．关于向量组秩的一些结论：定理及推论．４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．四、小结作业：P11113(2)；14(2)；15一、齐次线性方程组解的性质二、基础解系及其求

7、法三、非齐次线性方程组解的性质第四节线性方程组的解的结构１．解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则（2）称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则也是的解.（2）若为的解，为实数，则也是的解．１．基础解系的定义二、基础解系及其求法其中为任意常数.２．线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：定理7设m×n矩阵A的秩R(A)=