第6章热传导问题的有限元法.ppt

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1、6热传导问题的有限元法本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问题的解。6-1问题的提出前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理，建立了有限元的求解格式。但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分原理分析，求泛函的极值。比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常遇到的问题。对于均质物体内温度不随时间变化的情况，温度分布函数T=T(x,y,z)应满足拉普拉斯方程：再加上用得最多（一般）的边界条件除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可选的方法。有

2、限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变量，以使泛函取极值。下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元格式。6-2泛函与变分的基本概念函数：z=f(x)，x变，z变。泛函：平面上两点A、B之间的距离Iy变，I变。I是y的泛函—函数的函数。一泛函定义：函数值因另外一个或几个函数确定，这个函数称为泛函。二泛函的极值函数z=f(x)有极值问题。如果表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向左也不是，向右也不是，此时，z取极值。泛函I也有极值。

3、使泛函取极值的自变函数ｙ称为泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定性。当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复杂的多。三变分法函数取极值的条件：　　　，　称为微分。泛函取极值的条件：　　　，　称为变分。四变分函数微分可以用来研究函数z在x处的变化。类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的变分来观察。I—泛函，ε—任意小的正数。五泛函取极值的条件函数在x0处取极值的条件：泛函I=I[y(x)]在y=y0(x)处取极值的必要条件是δI=0，即上式的含义是：异于y0(x)的y都使I偏离最大值点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也不是”的状态。可见

4、，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变化方式要简单一些而已。六变分法预备定理设函数F(x)在[x1,x2]连续，对于δy(x)，如果有则。δy(x)是y的变分。δy(x)的条件：一阶或若干阶可微，在x1,x2处为零；

5、δy

6、<ε或

7、δy

8、及

9、δy’

10、<ε，等。这些话的意思是：y是连续区间[x1,x2]中一段曲线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高阶导数的变化等。下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极值的条件。设有泛函其中：泛函中的自变函数

11、y(x)（平面上的曲线）在积分区间[x1,x2]的端点x1,x2处的值是已知的，即认为函数三阶可微。根据变分的定义，要使泛函取极值，则其中，y使I取极值，y+εδy是一个微小的变化。令ε=0，则（y成为使I取极值的点）上式右端中，因为带入前式由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件上面的过程可以总结为（1）写出泛函表达式；（2）设使泛函取得极值的自变函数为y，那么，异于y的自变函数可写成y+εδy，它的高阶项为y’+εδy’；（3）使泛函取极值的条件（4）展开上式，将其中的δy设法从变分中分离出来。这个过程要用到分步积分。最后形成（5）根据变分基本定理，在δy满足

12、一般性条件时，即可得出：δI=0或I取极值的条件（）=0对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；2）微分法。两种方法的求解基本思路：（1）积分法假设场变量的变化模式。这种变化方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它含有若干待定系数，即每一项前的系数。将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极值的条件），可以求出多项式前的各系数，这样即可求出对原问题的近似解。（2）微分法假设场变量的值y，写出空间某点y的变化率，y的解与边界条件有关。积分法和微分法的联系微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数性态的要求稍高。七变分原理变分原理：

13、即泛函极值与求解特定微分方程及其边界条件等价的原理。即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对应的微分方程及其边界条件。[例]最速降线问题。平面上两点A和B，不在同一水平线上，也不在同一铅垂线上。现有一物体从A沿某条曲线y=f(x)滑到B。求解使物体下滑速度最快或时间最短的曲线y=f(x)。不计物体与曲线间的摩擦力。[解]分析：物体从A点到达B点所花的时间t与路径y=f(x)有关。可以将时间t看成是路径y的泛函，y是自变量函数。物体下滑时间最短，意味着求泛函t的极值。问题的关键：建立时间t与路径y的一般表达式。