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1、6.稳态热传导问题的有限元法本章的内容如下：6」热传导方程与换热边界6.2稳态温度场分析的一般有限元列式6.3三角形单元的冇限元列式6.4温度场分析举例6」热传导方程与换热边界在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的工作温度、金属工件在热处理过程屮的温度变化、流体温度分布等。物体内部的温度分布収决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质Z间的热量交换，一般认为是与时间相关的。物体内部的热交换采用以下的热传导方程（Fourier方程）來描述，dtdxI_8_+內1〉dy)d+一8z2鲁卜。IQz丿(6-1)式中。
2、为密度，kg/mc为比热容，J/（kg・K）；,Av,为导热系数，w/（m・k）；T为温度，°C；（为时间，s；◎为内热源密度，w/nAa2T“a2T对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式,(6-2)显:7卑+2卑+2卑+◎6t5x2Sy2az2除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最初的温度分布情况，Tt=0=T0(x,y,z)(6-3)边界条件是指物体外表而与周围环境的热交换情况。在传热学中一般把边界条件分为三类。1）给定物体边界上的温度，称为第一类边
3、界条件。物体表血上的温度或温度函数为已知，或T=T,（x,y,z,/）（6-4）S2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。已知物体表面上热流密度，3)给定对流换热条件，称为第三类边界条件。物体与其相接触的流体介质Z间的对流换热系数和介质的温度为已知。dT,dT(6-6)dT—dz、其中h为换热系数，W/(m2K)；7；是物体表面的温度；7＞是介质温度。如果边界上的换热条件不随时间变化，物体内部的热源也不随时间变化，在经过一•定时间的热交换后，物体内各点温度也将不随时间变化，即竺=0dt这类问题称为稳态(Steadyst
4、ate)热传导问题。稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化，而是指温度分布稳定后的状态，我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场。随时间变化的瞬态(Transient)热传导方程就退化为稳态热传导方程,三维问题的稳态热传导方程为，a5xdx)乜丿聖、dz丿(6-7)对于各向同性的材料，可以得到以卜-的方程，称为Poisson方程,卑*卑*啤+2=odx2dy2Qz~A(6-8)考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的温度场满足Laplace方程,(6-9)a2Ta2Ta2T在分析稳态热传导问题吋，不需要考虑
5、物体的初始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单元结点上只有-•个温度未知数，比弹性力学问题要简单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工程问题屮的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也很难进行测最，如何定义正确的换热边界条件是温度场计算的-个难点。6.2稳态温度场分析的一般冇限元列式在前面我们已经介
6、绍了有限元方法可以用来分析场问题，稳态温度场计算是一个典型的场问题。我们可以采用虚功方程建立弹性力学问题分析的有限元格式，推导出的单元刚度矩阵有明确的力学含义。在这里，介绍如何用加权余.量法(WeightedResidualMethod)建立稳态温度场分析的有限元列式。微分方程的边值问题，可以一燉地表示为未知函数u满足微分方程组，A（w）A（w）==0（在域。内）（6-10）•••未知函数u还满足边界条件，BgB（w）==0（在边界「上）（6-11）••••如果未知函数U是上述边值问题的精确解，则在域屮的任
7、一点上U都满足微分方程（6-10）,在边界的任一点上都满足边界条件（6-11）。对于复杂的工程问题，这样的精确解往往很难找到，需耍设法寻找近似解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数，一般表示为«u帀=工Niai=Nai=(6-12)其小勺为待定系数，N,为己知函数，被称为试探函数。试探函数要取占完全的函数序列,是线性独立的。由于试探函数是完全的函数序列，任一函数都对以用这个序列来表示。采用这种形式的近似解不能精确地满足微分方程和边界条件，所产生的谋差就称为余fio微分方程（6-10）的余量为，R=A(Na)(6-13)边界条
8、件（6・11）的余量为，R=B(Na)(6-14)选择一族已知的函数，使余量的加权积分为零，强迫近似解所产生的余量在某种平均意义上等于零，£W：RdQ+[WjR^/r=0（6-15）W/和兀称为权函数，通过公式（6-15
