北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.doc

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1、平谷五中2020-2021学年度高二第一学期期中考试试卷数学试卷一、选择题（共30小题，每小题3分，共90分）1.现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是A.①B.①②C.②③D.①②③【答案】B【解析】【详解】【分析】根据题意可得三个立体几何图形：图一可得侧面ABC,ADC与底面均垂直，图二-30-可得面ACE垂直底面，图三观察可知无侧面与底面垂直故选B点睛：根据题意可根据俯视图特征将立体几何图像一一

2、画出，然后观察证明得结论，在画立体几何图形时最好将其放在长方体中描绘，这样线面的关系会一目了然2.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（）A.线段的三等分点，且靠近点B.线段的中点C.线段的三等分点，且靠近点D.线段的四等分点，且靠近点【答案】B-30-【解析】【分析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题

3、.【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，的中点，，，则，设，，由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，，所以，所以，即是动点到直线的距离，由空间两点间的距离公式可得-30-，所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.故选：B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1C的中点，

4、则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为(　　)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，-30-∴，，，设平面的法向量为，∵，，∴，令，则，∴，设直线与平面所成角为，则，故选B．【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．

5、4.在三棱锥A﹣BCD中，BCD是边长为的等边三角形，，二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，且，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设AB＝x，AC＝y，由余弦定理及基本不等式求出xy的最大值为3，过A作AO⊥平面BCD，∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，求出AO的最大值，进而求出三棱锥A﹣BCD体积的最大值．详解】解：设AB＝x，AC＝y，，由余弦定理得：BC2＝x2+y2﹣2xycosx2+y2﹣xy≥xy，当且仅当x＝y时取等号，又BC，所以xy≤3

6、，过A作AO⊥平面BCD，平面，则，作AE⊥BC，连接OE，，平面，平面，则-30-，∴∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，大小为θ，又，所以AE，所以AO＝AEsinθ，由，故选：B．【点评】本题考查了二面角的应用，还考查了余弦定理，基本不等式，体积公式等，中档题．5.在长方体中，、分别是和的中点，则（）A.平面B.平面C.平面D.是异面直线和的公垂线【答案】A【解析】【分析】根据线面平行垂直关系逐一判断.【详解】如图，、分别是和的中点，因为长方体，所以、也分别是和的中点；-30-，所以A正

7、确；与平面相交，所以与平面相交，所以B错；与平面所成角为，所以与平面所成角为，所以C错；，不垂直于平面，则不是异面直线和的公垂线，所以D错.故选A6.若二面角为，直线，则平面内的所有直线与所成角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二面角的平面角大小可知与所成的角的大小，考虑特殊位置可得所在平面内的直线与所成角，从而求出所求．【详解】由二面角的大小为，直线，得与所成的角的大小为，于是所在平面内的直线与所成的角的最小值为，而最大值为．故选：B7.已知直线经过两点，则的斜率为

8、（）A.B.C.D.【答案】A【解析】-30-【分析】直接代入两点的斜率公式，计算即可得出答案．【详解】故选A【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题．8.已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)A.x－y＋1＝0B.x－y＝0C.x＋y－4＝0D.x＋y＝0【答案】C【解析】中点，直线斜率，所以直线为，即，故选C．9.圆心为的圆，在直线x﹣y﹣1＝0上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由垂径定理，根据弦长的一半