2021高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题二数列第2讲数列求和及综合问题含解析.doc

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1、第2讲　数列求和及综合问题高考定位　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________.解析　法一　因为an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1，所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋

2、a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.因为数列{an}的前16项和为540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①因为当n为奇数时，an＋2－an＝3n－1，所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.②由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184.又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a

3、11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7.法二　同法一得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝448.当n为奇数时，有an＋2－an＝3n－1，由累加法得an＋2－a1＝3(1＋3＋5＋…＋n)－＝(1＋n)·－＝n2＋n＋，所以an＋2＝n2＋n＋＋a1.所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝a1＋＋＋＋＋＋＋＝8a1＋392＝448，解得a1＝7.答案　72.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn

4、为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.解析　法一　因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1.所以S6＝＝－63.法二　由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1，当n≥2时，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S

5、1－1＝－2，∴{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.答案　－633.(2020·新高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.解　(1)设的公比为q(q＞1).由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.解得q＝(舍去)，q＝2.由题设得a1＝2.所以的通项公式为a

6、n＝2n.(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m＜2n＋1时，bm＝n.所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.4.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.解　(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a

7、1q＋a1q2.所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.故{an}的公比为－2.(2)记Sn为{nan}的前n项和.由(1)及题设可得an＝(－2)n－1，所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n·(－2)n－1，－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n.所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n·(－2)n＝－n·(－2)n.所以Sn＝－.考点整合1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n2＝.2.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系为an＝(2)应用

8、an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误.3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等