第02章-平面问题的基本理论-2015-part5.ppt

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1、§2.1平面应力问题与平面应变问题§2.2平面问题中的一点应力状态分析§2.3平面问题的平衡微分方程§2.4平面问题的几何方程与刚体位移§2.5平面问题的物理方程§2.6平面问题的边界条件§2.7圣维南原理及应用§2.8按位移求解平面问题§2.9按应力求解平面问题及相容方程§2.10常体力情况下的简化与应力函数主要内容§2.10常体力情况下的简化及应力函数当实际工程问题中体力为常量，即体力分量fx，fy不随x和y座标改变时（如重力和常加速度平移时的惯性力），此时，两类平面问题的都能得到简化。将上述条件代入式（2-21）或（2-22），得常体力时的相容方程：此外，还满足平衡微分方程：和应力

2、边界条件：(2-23)§2.10常体力情况下的简化及应力函数体力为常量时，按应力法求解平面问题时，应力分量sx、sy、txy满足的方程为：（1）平衡微分方程(2-2)；（2）简化后的相容方程(2-23)；（3）同时在边界上满足应力边界条件(2-15)；（4）对于多连体，还须考虑位移的单值条件。在（1）常体力、（2）单连体、（3）全部为应力边界条件时，平面问题的应力解具有如下特征：在⑴-⑶条件下求解应力分量的全部条件中均不包含弹性常数，故应力分量解与弹性常数无关。§2.10常体力情况下的简化及应力函数由于应力解与弹性常数无关，故对于两类平面问题都相同。因此，当体力为常量，只要弹性体受外力和

3、边界形状相同，则:（1）不同材料的应力解理论上是相同的，因此用试验方法求应力时可用不同材料来代替；（2）两类平面问题的应力解sx、sy、txy是相同的。试验时可用平面应力模型代替平面应变模型。（3）两类平面问题应力解sx、sy、txy相同，但是sz和应变、位移分量的分布不一定相同。§2.10常体力情况下的简化及应力函数　　　　　　　　　　　　　　　　应力函数1、首先考察平衡微分方程，它是一个非齐次微分方程组，其解包含两部分，即其全解等于非齐次微分方程的特解与齐次微分方程的通解的叠加。（1）非齐次微分方程的特解：下面详细讨论常体力情况下按应力求解的基本方程和条件§2.10常体力情况下的简化

4、及应力函数　　　　　　　　　　　　　　　　应力函数（2）齐次微分方程的通解：艾里已经求出该方程的通解为：§2.10常体力情况下的简化及应力函数　　　　　　　　　　　　　　　　应力函数（3）所以满足平衡微分方程的全解为：任一组特解与通解的叠加：式中f称为平面问题的应力函数，又称为艾里应力函数。它是一个待定的未知函数，必然满足平衡微分方程，导出应力函数的过程已证明了其存在性。它使得按应力求解平面问题的未知数由3个减少为1个，由求解应力分量sx、sy、txy转化为求解应力函数f。§2.10常体力情况下的简化及应力函数　　　　　　　　　　　　　　　　应力函数2、为了求解平面问题的应力函数，下面来

5、分析应力函数所满足的条件。很显然，用应力函数表示的应力分量（2-24）必须满足常体力情况下用应力分量表示的相容方程（2-23），为此将式（2-24）代入（2-23）用应力函数表示的相容方程§2.10常体力情况下的简化及应力函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　总结总之，体力为常量时，按应力法求解平面问题，可转化为求解一个应力函数f，它应当满足条件为：1、在区域内满足应力函数表示的相容方程(2-25)2、在边界上满足应力边界条件(2-15)，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。3、对于多连体，还须考虑位移的单值条件。相容方程：应力边界条件：§2.10常体力情况下的简化及应力函数　　　

6、　　　　　　　　　　　　　　　总结根据上述条件求得应力函数f后，代入公式（2－24）即可求出应力分量。求得应力分量sx、sy、txy后，代入物理方程(2-12)求应变分量，将应变分量代入几何方程(2-8)，通过积分求位移分量，其中的积分待定项由边界约束条件来确定。总结平面问题求解方法1、按位移2、按应力3、按应力函数各求解方法推导过程及对比1、在常体力，单连体和全部为应力边界条件条件下，对于不同材料和两类平面问题的sx，sy和txy均相同。试问其余的应力分量，应变和位移是否相同？思考题2、对于按位移(u,v)求解、按应力(sx,sy,txy)求解和按应力函数Φ求解的方法，试比较其未知函数

7、、应满足的方程和条件、求解的难易程度及局限性。§2.1平面应力问题与平面应变问题§2.2平面问题中的一点应力状态分析§2.3平面问题的平衡微分方程§2.4平面问题的几何方程与刚体位移§2.5平面问题的物理方程§2.6平面问题的边界条件§2.7圣维南原理及应用§2.8按位移求解平面问题§2.9按应力求解平面问题及相容方程§2.10常体力情况下的简化与应力函数主要内容习题课第二章平面问题的基本理论习题课1、如图所示，试写出应力边界条件