hzf第2章——平面问题的基本理论5

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1、§2-9按应力求解平面问题相容方程按位移求解平面问题时，必须求解两个二阶偏微分方程，这在数学上是相当困难的。而按应力求解弹性力学平面问题，则避免了这个困难，故多采用的是按应力求解。按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出形变分量，从而用几何方程求出位移分量。一、用应变表示的相容方程由平面问题的几何方程：即：这个关系式称为形变协调方程或相容方程。即必须满足上式才能保证位移分量u、v的存在与协调，才能求得这些位移分量。例：其中：C为常数。显然，要想使形变协调方程得到

2、满足，除非C=0，因而不可能求出满足几何方程的解。解:点共点（连续），变形后三连杆在点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。举例三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在D2.相容方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：利用平衡方程将上述化简：（a）有：将上述两边相加：（b）将(b)代入(a)，得：将上式整理得：（2-23）上式为用应力表示的相容方程（平面应力情形）（2）平面应变情形将上式中的泊松比μ代为：，得（2-24）上式为应力表示的相容方程（平面应变情形）特殊情况：当体力fx、fy为常数时，两种平面问

3、题的相容方程相同，即（2-25）按应力求解平面问题时，无论是平面应力问题还是平面应变问题，应力分量除了满足平衡微分方程和相容方程外，在边界上还应当满足应力边界条件。（1）对应力边界问题，且为单连体问题(只具有一个连续边界的物体)，满足上述方程的解是唯一正确解。（2）对多连体(具有多个连续边界的物体，也就是具有孔口的物体)问题，除满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。例1：下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场，试分别判断它们是否为可能的应力场（不计体力）。解（1）将上式代入平衡微分方程：（2-2）——满足将上式代入相

4、容方程：∴　上式不是一组可能的应力场。§2-10常体力情况下的简化应力函数常体力下，两种平面问题的相容方程都简化为：可见，在常体力的情况下，　应当满足拉普拉斯微分方程（调和方程），　　应当是调和函数。用记号　代表　　，上式简写为：§2-10常体力情况下的简化应力函数结论:在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量、、的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量　，以及形变和位移，却不一定相同）。推论2在用

5、实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还可以用平面应力情况下的薄板模型来代替平面应变情况下的长柱形的结构或构件。推论1针对任一物体而求出的应力分量　、　、　，也适用于具有同样边界并受有同样外力的其它材料的物体；针对平面应力问题而求出的这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同的平面应变情况下的物体。推论3常体力的情况下，对于单连体的应力边界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便于解答问题和实验量测。应力函数按应力求解应力边界问题时，在体力为常量的情况下，应力

6、分量　、　、　应当满足平衡微分方程：（a）以及相容方程（b）方程（a）的解包含两部分：任意一个特解和下列齐次微分方程的通解。特解取为：将齐次微分方程（c）中前一个方程改写为：根据微分方程理论，一定存在某一个函数　　　，使得：（c）（d）（e）（f）同样将（c）中的第二个方程改写为：也一定存在某一个函数　　，使得：（g）（h）由式（f）及（h）得：（c）因而一定存在某一个函数　　，使得：（i）（j）将式（i）代入（e），式（j）代入（g），并将式（i）代入（f），即得通解：（k）将通解（k）与特解（d）叠加，即得微分方程（a）的全解：函

7、数　称为平面问题的应力函数，也称为艾瑞应力函数。（1）为了使应力分量（1）同时也能满足相容方程（b），将（1）代入式（b），即得：上式可简化为：或者展开为：进一步表示为：（2）按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程（2）求解应力函数Φ，然后用公式（1）求出应力分量，但这些应力分量在边界上必须满足应力边界条件。（1）[例题1]如果为平面调和函数，它满足，问是否可作为应力函数。解：将代入相容条件，得：满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将代入相容条件得也能作为应力函数。所以也可作为应力函数。把代入相容条件，得：[例题

8、2]悬臂梁上部受线性分布载荷，如图所示。试根据材料力学中的表达式，再用平衡微分方程导出和的表达式。(体力不计,截面高度为h,厚度为1个单位)解：由材料力学可知，过P点横截面上的弯矩：（1）代入平衡微分方程，得：利用上、下