2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学及答案

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共14小题,满分56分)每个空格填对得4分,否则一律得零分1.计算:_______(为虚数单位)2.若集合,则_______3.函数的最小正周期是_______4.若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为_______(结果用反三角函数值表示)5.一个高为2的圆柱,底面周长为.该圆柱的表面积为_______6.方程的解是_______7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为则____

2、___8.在的二项展开式中,常数项等于_______9.已知是奇函数,若且,则_______10.满足约束条件的目标函数的最小值是_______11.三位同学参加跳高,跳远,铅球项目的比赛,若每人都是选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_______(结果用最简分数表示)12.在矩形中,边的长分别为2,1,若分别是边上的点,且满足,则的取值范围是_______13.已知函数的图像是折线段,其中.函数的图像与轴围成的图形的面积为_______14.已知,各项均为正数的数列满足,若

3、,则的值是_______二、填空题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分15.若是关于的实系数方程的一个复数根,则()A.B.C.D.16.对于常数,“”是“方程的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在中,若,则的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定18.若,则在中,正数的个数是()A.16B.72C.86D.100三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答题应写出文字

4、说明,证明过程或演算步骤.)19.(本小题12分)如图,在三棱锥中,底面是的中点.已知,求:(1)三棱锥的体积;(2)异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20.(本小题14分)已知(1)若,求的取值范围;(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.21.(本小题14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;

5、②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.(1)当时,写出失事船所在位置的难纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?22.(本小题16分)在平面直角坐标系中,已知双曲线(1)设是的左焦点,是右支上一点.若,求点的坐标;(2)过的左顶点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为的直线交于两点,若与圆相切,求证:23.(本小题18分)对于项数为的有穷数列,记,即为中

6、的最大值,并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;(2)设是的控制数列,满足(为常数).求证:(3)设,常数.若,是的控制数列,求.1．计算：=（i为虚数单位）.【答案】 1-2i【解析】==1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。2．若集合，，则=.【答案】 【解析】由集合A可得：x>，由集合B可得：-1

7、考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。3．函数的最小正周期是.【答案】 【解析】根据韪得：【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为        （结果用反三角函数值表示）.【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关

8、系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为.【答案】【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为：.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程的解是.【答案】【解析】根据方程，化简得，令，则原方程可化为，解得或，即.所以原方程的解为.【点评】