2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案含解析新人教A版选修1_1.doc

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1、2．3　抛物线2.3.1　抛物线及其标准方程内　容　标　准学　科　素　养1.理解并掌握抛物线的定义．2.理解并掌握抛物线的标准方程．3.掌握求抛物线标准方程的方法．4.会用抛物线的定义解决简单的轨迹问题.发展逻辑推理提高数学运算能力授课提示：对应学生用书第39页[基础认识]知识点一　抛物线的定义我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题．那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H

2、作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？提示：可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有

3、MF

4、＝

5、MH

6、，即点M与定点F和定直线l的距离相等．　　　知识梳理　抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．知识点二　抛物线的标准方程知识梳理　抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py

7、(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝[自我检测]1．若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　)A．椭圆　　　　　　　B．抛物线C．直线D．双曲线答案：B2．抛物线x2＝y的开口向________，焦点坐标为________，准线方程是________．答案：上　　y＝－3．若抛物线的准线方程是x＝5，则其标准方程为________，焦点坐标为________．答案：y2＝－20x　(－5,0)授课提示：对应学生用书第40页探究一　求抛物线的标准方程　[阅读教材P58例1

8、](1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．题型：(1)利用标准方程，求焦点与准线．(2)根据条件求抛物线的标准方程．方法步骤：①先求出p的值，从而写出焦点坐标及准线方程．②先确定焦点的位置，求出p的值，写出抛物线的标准方程．[例1]　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[解析]　(1)设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，又点(－3,2)在抛物线上，∴2

9、p＝或2p＝，∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.(2)当焦点在y轴上时，已知方程x－2y－4＝0，令x＝0，得y＝－2，∴所求抛物线的焦点为(0，－2)，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由＝2，得2p＝8，∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0，令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由＝4，得2p＝16，∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x.综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.方法

10、技巧　1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数p的值；(3)确定抛物线的标准方程．2．当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪探究　1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.解析：(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1

11、，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.探究二　抛物线定义的应用　[教材P59练习3题](1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点距离是a，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是________

12、；(2)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：(1)由抛物线的定义知，点M到准线的距离为a，＋xM＝a，∴xM＝a－.(2)由y2＝12x知p＝6，准线方程为x＝－3，设点P(x，y)，由抛物线定义可知x＋3＝9，x＝6，将x＝6代入y2＝12x，得y＝±6，所以满足条件的点为(6，6)或(6，－6)．答案：