课时分层作业15反证法.docx

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1、课时分层作业(十五)反证法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()【导学号：31062157】A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°B[由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实

2、根A[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.]3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为()A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数第1页D[反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．]4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关

3、系为A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C[假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]1115．设x，y，z都是正实数，a＝x＋y，b＝y＋z，c＝z＋x，则a，b，c三个数A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2C[若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，111而a＋b＋c＝x＋x＋y＋y＋z＋z≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．]二、填空题6．用反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋q，则

4、f(1)

5、，

6、f(2)

7、，

8、f(3)

9、中至少有一1个不小于2”时，假设内容

10、是________.【导学号：31062158】1[解析]“

11、f(1)

12、，

13、f(2)

14、，

15、f(3)

16、中至少有一个不小于2”的反面是“

17、f(1)

18、，

19、f(2)

20、，1

21、f(3)

22、都小于2”．[答案]

23、f(1)

24、，

25、f(2)

26、，

27、f(3)

28、都小于127．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设第2页________．[解析]反法的反只否定，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1.[答案]x≠－1且x≠18．完成反法的全程．目：a1，a2，⋯，a7是由数字1,2，⋯，7任意排成的一个数列，求：乘p＝(a1－1)(a2－2)⋯(a7－7)偶数．明：假p奇数，________均奇

29、数．因奇数个奇数之和奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但奇数≠偶数，一矛盾明p偶数．[解析]由假p奇数可知a1－1，a2－2，⋯，a7－7均奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋⋯＋(a7－7)＝(a1＋a2＋⋯＋a7)－(1＋2＋⋯＋7)＝0奇数，与0偶数矛盾．[答案1－1，a2－2，⋯，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋⋯＋(a7－7)(a1＋]aa2＋⋯＋a7)－(1＋2＋⋯＋7)三、解答9.已知x，y>0，且x＋y>2.1＋x1＋y求：y，x中至少有一个小于2.【学号：31062159】1＋x1＋y[明]假y，x都不小于2，1＋x1＋y即y≥2，x≥2.∵x，

30、y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．第3页1＋x1＋y∴y，x中至少有一个小于2.10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[解]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0，由f(0)为奇数，即c为奇数，f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，又an2＋bn＝－c为奇数，所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．所以f(x)＝0无整数根．[能

31、力提升练]1．已知a、b、c∈(0,1)．则在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中，()【导学号：31062160】1A．不能同时大于41B．都大于41C．至少一个大于41D．至多有一个大于41A[法一：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于4.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.1－a＋b2＞第4页1－ab＞1＝1，421－b＋c11－c＋a1同理2＞2，2＞2.三式相加，