高等数学部分易混淆概念解析(doc8页).docx

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1、高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若，且序列的极限存在，解答：不正确．在题设下只能保证，不能保证．例如：，，而．例2．选择题设，且（）A．存在且等于零C．不一定存在B.存在但不一定等于零D.一定不存在答：选项C正确分析：若，由夹逼定理可得，故不选A与D.取，则，且，但不存在，所以B选项不正确，因此选C．例3．设（）A．都收敛于B.都收敛，但不一定收敛于C．可能收敛，也可能发散D.都发散答：选项A正确．分析：由于，得，又由及夹逼定理得因此，，再利用得．所以选项A．二、无界与无穷大无界：设函数的定义域为

2、，如果存在正数，使得则称函数在上有界，如果这样的不存在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界．无穷大：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式则称函数为当（或）时的无穷大．例4：下列叙述正确的是：②①如果在某邻域内无界，则②如果，则在某邻域内无界解析：举反例说明．设，令，当时，，而limf(yn)n0故f(x)在x0邻域无界，但x0时f(x)不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确

3、．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在极限是无穷大当xx0（或x）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．x1x0例5：函数f(x)0x0，当x0时f(x)的极限不存在．x1x0四、如果limf(x)10不能退出limxx0xx0f(x)x为有理数1x，则limf()x0在x0的任一邻域的无理点均没有例6：f(x)为无理数，但由于0f(x)xxx0定义，故无法讨论1在x0的极限．f(x)结论：如果limf(x)0，且f(x)在x0的

4、某一去心邻域内满足f(x)0，则lim1．反xx0xx0f(x)之，f(x)为无穷大，则1为无穷小。f(x)五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。1例7．求极限limex,limexxx0解：limex,limex0，因而x时ex极限不存在。xx111limex0,limex，因而x0时ex极限不存在。x0x0六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。（2）注意等价无穷小的

5、条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8：求极限lim1x1x2x2x0分析一：若将1x1x2写成(1x1)(1x1)，再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二：用泰勒公式1x(11x1(1)1x22x2(x2))22!(11x1(1)22x2(x2))222!1x2(x2)41x2(x2)1原式4x2。4例9：求极限limsinxxx解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1。limsinxsin0xx七、函数连续性的判断（1）设f(x)在xx0间断，g(x)在xx0连续，则f(x)g(x)在xx0间断。而f(x)g(x),2f(x),f(在x)x0可能连续

6、。x例10．设f(x)0x0，g(x)sinx，则f(x)在x0间断，g(x)在x0连续，1x0f(x)g(x)f(x)sinx0x0连续。在若设f(x)1x0，f(x)在x0间断，但f2(x)f(x)1在x0均连续。1x0（2）“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件。分析：由“若limf(x)a，则limfx()a”可得“如果limf(x)f(x0)，则xx0xx0xx0limfx()fx0()f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点连续。再由例10可得，f(x)在x0xx0”，因此，点连续并不能推出f(x)在x0点连续。（3）(x)在x

7、x0连续，f(u)在uu0(x0)连续，则f((x))在xx0连续。其余结论均不一定成立。第二章导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续，连续不一定可导。例11．f(x)x在x0连读，在x0处不可导。二、f(x)与f(x)可导性的关系（1）设f(x)0，f(x)在xx连续，则f(x)在xx可导是f(x)在xx可导的充要条0000件。（2）设f(x0)0，则f(x0)0是f(x)在xx0可导的充要条件。三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设F(x)g(x)(x)，(x)在xa连续，但不可导，又g(a)存在，则g(a)0是F(x)在x