2011高等数学各章易混淆概念.pdf

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1、第一章：函数与极限一一一、一、、、数列极限大小的判断数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若xN)，且序列xy,的极限存在，limx=A,limy=B,则AB

2、C正确分析：若limx=limy=a¹0，由夹逼定理可得limz=a¹0，故不选A与D.nnnn®¥n®¥n®¥n1n1n取x=-(1)-,y=-(1)+,z=-(1)，则x£z£y，且lim(y-x)=0，但limznnnnnnnnnnnn®¥n®¥不存在，所以B选项不正确，因此选C．例3．设x£a£y,且lim(y-x)=0,{}{}则x与y（）nnnnnnn®¥A．都收敛于aB.都收敛，但不一定收敛于aC．可能收敛，也可能发散D.都发散答：选项A正确．分析：由于x£a£y,，得0£a-x£y-x，

3、又由lim(y-x)=0及夹逼定理得nnnnnnnn®¥lim(a-x)=0nn®¥因此，limx=a，再利用lim(y-x)=0得limy=a．所以选项A．nnnnn®¥n®¥n®¥二二二、二、、、无界与无穷大无界与无穷大无界：设函数fx()的定义域为D，如果存在正数M，使得fx()£M"ÎxXÌD则称函数fx()在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数fx()在X上无界；也就是说如果对于任何正数M，总存在xÎX，使fx()>M，那么函数fx()在X上无界．11无穷大：设函数fx()在x的某一去心邻域

4、内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如0果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数d（或正数X），只要x适合不等式0X），对应的函数值fx()总满足不等式0fx()>M则称函数fx()为当x®x（或x®¥）时的无穷大．0例4：下列叙述正确的是：②①如果fx()在x某邻域内无界，则lim()fx=¥0x®x0②如果lim()fx=¥，则fx()在x某邻域内无界0x®x01111解析：举反例说明．设fx()=sin，令x=,y=,，当n®+¥时，nnxxpnp2np+2x®0,

5、y®0，而nnplimfx()=lim(2np+)=+¥nn®+¥n®+¥2limfy()=0nn®+¥故fx()在x=0邻域无界，但x®0时fx()不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三三三、三、、、函数极限不存在函数极限不存在¹极限是无穷大当x®x（或x®¥）时的无穷大的函数fx()，按函数极限定义来说，极限是不存在0的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．x-1x<0例5：函

6、数fx()=0x=0，当x®0时fx()的极限不存在．x+1x>01四四四、四、、、如果如果lim()fx=0不能推出lim=¥x®x0x®x0fx()xx为有理数1例6：fx()=，则lim()fx=0，但由于在x=0的任一邻域的无理0x为无理数x®x0fx()1点均没有定义，故无法讨论在x=0的极限．fx()结论：如果lim()fx=0，且fx()在x的某一去心邻域内满足fx()¹0，则0x®x011lim=¥．反之，fx()为无穷大，则为无穷小。x®x0fx()fx()五五五、五、、、

7、求函数在某点处极限时要注意其左右极求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，，，求无穷大处，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。。。。1xx例7．求极限lime,limex®¥x®0xxx解：lime=+¥,lime=0，因而x®¥时e极限不存在。x®+¥x®-¥111limex=0,limex=+¥，因而x®0时ex极限不存在。x®-0x®=0六六六、六、、、使用等价无穷小求极限时要注意使用等价无穷小求极限时要注意：：：：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运

8、算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换1+x+1-x-2例8：求极限lim2x®0x分析一：若将1+x+1--x2写成(1+x-1)(1+-x-1)，再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二：用泰勒公式11(-)122221+x+1-x=(1+x+x+o(x))22!11(-)12222+-(1x+x+o(x))2-22!122=-x+o