2021届高考数学解答题核心素养题型01 函数与导数综合问题（答题指导）（解析版）.docx

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1、专题01函数与导数综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势1.极值、最值、导数几何意义及单调性的综合问题．2．利用导数研究不等式的综合问题.1.以函数为载体，以导数为解题工具，主要考查函数的单调性、极值、最值问题的求法，以及参数的取值范围问题．2．不等式的证明问题是高考考查的热点内容，常与不等式、二次函数等相联系．问题的解决通常采用构造新函数的方法.▶▶题型一：利用导数研究函数的性质以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点．主要考查：(1)讨论函数的单调性

2、和单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．【例1】已知函数f(x)＝ax－－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)f′(x)＝a＋－，由f′＝a＋－＝1可得a＝1，即f(x)＝x－－3lnx，f′(x)＝1＋－＝＝，当x∈有：x2(2,3]f′(x)－0＋f(x)单调递减1－3ln2单调递

3、增从而在上，f(x)有最小值，且最小值为f(2)＝1－3ln2.(2)f′(x)＝a＋－＝(x>0)，由题设可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根．不妨设这两个根为x1，x2，且x1≠x2，则解得0

4、核心素养．【突破训练1】已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值

5、，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f>2a－2等价于lna＋a－1<0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当01时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)．【突破训练2】(2019·黄冈联考)已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)f′(x)＝2x－.令f′(x)

6、＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得0＜x＜1.所以f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)①若函数g(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝－2x2，因为φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.②若函数g(x)在[1，＋∞)上是单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，无解．综上，实数a的取值范围为[0，＋∞)．▶▶题型二：利用

7、导数研究函数的零点或曲线交点问题导数与函数、方程交汇是近年命题的热点，常转化为研究函数图象的交点问题，研究函数的极(最)值的正负．主要考查：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．【例2】(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.【答案】见解析【解析】(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.设函数g(x)＝(x2＋1

8、)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减．而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．(ⅰ)当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；(ⅱ)当a>0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0,2)时，h