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《2021届高考数学解答题核心素养题型08 立体几何综合问题（专项训练）（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题08立体几何综合问题（专项训练）1．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．【答案】见解析【解析】(1)因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AE.因为AC∩AE＝A，所以BD⊥平面ACFE.(2)以O为原点，，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B
2、(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，a)(a>0)，＝(－1,0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令z＝1，则n＝(－2,0,1)，由题意得sin45°＝
3、cos〈，n〉
4、＝＝＝.因为a>0，所以解得a＝3.所以＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，所以cos〈，〉＝＝＝.故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.2．(2019·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO.(1)求证：平面PBAD⊥平面C
5、OD；(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：因为OB＝OC，又因为∠ABC＝，所以∠OCB＝，所以∠BOC＝，即CO⊥AB.又PO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，所以PO⊥OC.又因为PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB＝O，所以CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PBAD.又CO⊂平面COD，所以平面PBAD⊥平面COD.(2)以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设
6、OA
7、＝1，则
8、PO
9、＝
10、OB
11、＝
12、OC
13、＝2，
14、DA
15、＝1.则C(2,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)
16、，D(0，－1,1)，所以＝(0，－1，－1)，＝(2，－2,0)，＝(0，－3,1)．设平面BDC的法向量为n＝(x，y，z)，所以所以令y＝1，则x＝1，z＝3，所以n＝(1,1,3)．设PD与平面BDC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为.3．(2019·湖北武汉调考)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】方法一 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系C
17、xyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)，设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0，且＝(x－2，y－2，z，)，＝(x，y－2，z).＝(x－1，y，z)．由
18、
19、＝
20、
21、，得＝，得x＝1，由
22、
23、＝1得y2＋z2＝1，①由
24、
25、＝2得y2＋z2－4y＋1＝0，②由①②解得y＝，z＝，所以S，＝，＝，＝，所以·＝0，·＝0，所以DS⊥AS，DS⊥BS，又AS∩DS＝S，所以SD⊥平面SAB.(2)设平面SBC的一个法向量为m＝(a，b，c)，＝，＝(0,2,0)，＝(－2,0,0)，由得所以可取m＝(－，0,2)，故AB与平面SBC所
26、成的角的正弦值为cos〈m，〉＝＝＝.方法二 (1)证明：如下图，取AB的中点E，连接DE，SE，则四边形BCDE为矩形，所以DE＝CB＝2，所以AD＝＝.因为侧面SAB为等边三角形，AB＝2，所以SA＝SB＝AB＝2，且SE＝，又SD＝1，所以SA2＋SD2＝AD2，SE2＋SD2＝ED2，所以SD⊥SA，SD⊥SB，又AS∩DS＝S，所以SD⊥平面SAB.(2)作S在DE上的射影G，因为AB⊥SE，AB⊥DE，AB⊥平面SDE，所以平面SDE⊥平面ABCD，两平面的交线为DE，所以SG⊥平面ABCD，在Rt△DSE中，由SD·SE＝DE·SG得1×＝
27、2×SG，所以SG＝，作A在平面SBC上的射影H，则∠ABH为AB与平面SBC所成的角，因为CD∥AB，AB⊥平面SDE，所以CD⊥平面SDE，所以CD⊥SD，在Rt△CDS中，由CD＝SD＝1，求得SC＝.在△SBC中，SB＝BC＝1，SC＝，所以S△SBC＝××＝，由VA－SBC＝VS－ABC得·S△SBC·AH＝·S△ABC·SG，即××AH＝××2×2×，得AH＝，所以sin∠ABH＝＝，故AB与平面SBC所成的角的正弦值为.4．(2019·安徽江南名校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD
28、＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点．(1)求证：DE∥平面BPC
