冲刺2021届数学二轮复习专训2.4 空间几何（解析版）.docx

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1、专训2.4空间几何思维导图23/23解答题，每题10min，共100min1．（2020·海南高三一模）如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面.（1）若点是线段的中点，求证：平面；（2）点在线段出上且满足，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）因为和都为等边三角形，且有公共边，所以.因为为的中点，所以，，又因为，所以平面.（2）取的中点，连接，，由条件可得，，两两垂直.以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.23/23设，则，则点，，，，，所以，，.

2、设平面的一个法向量为，则，令，可得.设与平面所成角为，则.2．（2020·全国高三其他模拟）如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．23/23（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，由于四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）如图，取的中点，连接，，23/23根据和都是正三角形，得，．又平面平面，平面平面，所以平面，于是．以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

3、设，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．设二面角的大小为，由图易知为锐角，23/23则，因此二面角的余弦值为．3．（2020·全国高三其他模拟）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．（1）证明：；（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，，，因为四边形是菱形，且，所以，且，所以为正三角形，．因为，所以．又，所以平面，因为平面，所以．（2）设，则，所以，所以．23/23由（1）知，，又，，所以，所以．

4、故以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，所以，，．设是平面的法向量，则即取，则．设是平面的法向量，则即则，取，则．23/23则，由图易知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．4．（2020·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小等于120°.（1）在上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）在线段上存在点满足题意，为的中点；（2）.【解析】（

5、1）在线段上存在点满足题意，且为的中点.如图，连接，，，∵四边形是矩形，∴.又，分别是，的中点，∴，.∵为等腰直角三角形，，为的中点，23/23∴.∵，平面，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.故上存在中点，使得平面平面.（2）解：由（1）可知就是二面角的平面角，∴.以为坐标原点，，的方向分别为，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由为等腰直角三角形，，得，.可得，，，，∴，，，设是平面的法向量，则即23/23可取.设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.5．（2020·海南高三期中）如图，在多面体中，是

6、边长为4的等边三角形，，，，点为的中点，平面平面．（1）求证：平面（2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点的八等分点.23/23【解析】（1）因为，是边长为4的等边三角形，所以，所以是等腰直角三角形，．又点为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，所以平面．因为，，所以，，所以与都是直角三角形，故，．又，所以平面，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）连接，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

7、则，，，，设存在，使得二面角为直二面角，易知，且．设平面的法向量为，23/23则由，，得，令，得，，故．设平面的法向量为，则由，，得，令，得，，故．由，得，故．所以当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角．6．（2020·梅河口市第五中学高三其他模拟）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，为的中点，平面平面，二面角的余弦值为，三棱锥23/23的体积为．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）为等边三角形，为的中点，所以有，又平面平面，平面平面，，所以平面（面面垂直的性质定

8、理），又平面，所以平面平面（线面垂直的判定定理），得证.（2）因为，，，所以过作于点，连接，则，所以为二面角的平面角.即即为所求.设三棱锥的高为，则有，得.由（1）可知，为二面角的平面角，所以，则，则，所以.由余弦定理可得：，.23/23在中，由余弦定理可知：，则有，所以，同理，又，所以由