全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲_勾股定理与应用 学生卷.doc

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1、第十一讲勾股定理与应用基础知识勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2探索证明证法1如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．证法2如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．　

2、　定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．例题精讲例1如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G

3、．求证：AB2=2FG2．　　例2如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．例3如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．例4如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．例5求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：4(AM2+BN2)

4、=5AB2．　　练习十一1．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内的任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．　2．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．3．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．4．如图2-31所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．