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时间:2019-06-24
《全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲_勾股定理与应用 教师卷》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、兴趣点燃动力心态成就未来第十一讲勾股定理与应用基础知识 勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2.勾股定理逆定理如果三角形三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2探索证明证法1如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它们的面积分别是c2,a2,b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.证明:过C引CM∥BD,交AB于L,连接BG,CE.因为AB=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG, 所以△ACE≌△AGB(
2、SAS). 而 所以SAEML=b2.① 同理可证SBLMD=a2.②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2;即c2=a2+b2.证法3如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,延长CB,自E作EG⊥CB延长线于G,自D作DK⊥CB延长线于K,又作AF,DH分别垂直EG于F,H.6兴趣点燃动力心态成就未来下述各直角三角形均与Rt△ABC全等:△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB. 设五边形ACKDE的面积为S,一方面 S=SABDE+2S△ABC,① 另一方面S=SAC
3、GF+SHGKD+2S△ABC.② 由①,② 所以c2=a2+b2. 定理在三角形中,锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和,减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.证(1)设角C为锐角,如图2-19所示.作AD⊥BC于D,则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,① 在直角三角形ACD中,AD2=AC2-CD2,② 又BD2=(BC-CD)2,③①③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2 =AC2-CD2
4、+BC2+CD2-2BC·CD =AC2+BC2-2BC·CD, 即c2=a2+b2-2a·CD.④(2)设角C为钝角,如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D,则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,⑤ 在直角三角形ACD中,AD2=AC2-CD2,⑥ 又BD2=(BC+CD)2,⑦ 将⑥,⑦代入⑤得:AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2 =AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD =AC2+BC2+2BC·CD, 即c2=a2+
5、b2+2a·cd.⑧ 综合④,⑧就是我们所需要的结论 特别地,当∠C=90°时,CD=0,上述结论正是勾股定理的表述:c2=a2+b2.由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中, (1)若c2=a2+b2,则∠C=90°; (2)若c2<a2+b2,则∠C<90°; (3)若c2>a2+b2,则∠C>90°. 勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系,因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.6兴趣点燃动力心态成就未来 例题精讲例1如图2-21所示.已
6、知:在正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,作EF⊥AC于F,作FG⊥AB于G.求证:AB2=2FG2. 分析注意到正方形的特性∠CAB=45°,所以△AGF是等腰直角三角形,从而有AF2=2FG2,因而应有AF=AB,这启发我们去证明△ABE≌△AFE.证因为AE是∠FAB的平分线,EF⊥AF,又AE是△AFE与△ABE的公共边,所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS), 所以AF=AB.① 在Rt△AGF中,因为∠FAG=45°,所以AG=FG, AF2=AG2+FG2=2FG2.② 由①,②得A
7、B2=2FG2.例2如图2-22所示.AM是△ABC的BC边上的中线,求证:AB2+AC2=2(AM2+BM2).证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内).由广勾股定理,在△ABM中,AB2=AM2+BM2+2BM·MD.① 在△ACM中,AC2=AM2+MC2-2MC·MD.② ①+②,并注意到MB=MC,所以AB2+AC2=2(AM2+BM2).③ 如果设△ABC三边长分别为a,b,c,它们对应边上的中线长分别为ma,mb,mc,由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式. 推论△ABC的中线长公式
8、: 说明三角形的中线将三角形分为两个三角形,其中一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形(除等腰三角形外).利用广勾股定理恰好消去相反项,获得中线公式.①′,②′,③′中的ma,mb,mc分别表示a,b,c边上的中线长. 6兴趣点燃动力心态成就未来例3如图2-23所示.求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方
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