全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲_勾股定理与应用 教师卷

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1、兴趣点燃动力心态成就未来第十一讲勾股定理与应用基础知识　　勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2探索证明证法1如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．证明：过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，　所以△ACE≌△AGB(

2、SAS)．　而　　所以SAEML=b2．①　　同理可证SBLMD=a2．②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2；即c2=a2+b2．证法3如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．6兴趣点燃动力心态成就未来下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．　　设五边形ACKDE的面积为S，一方面　S=SABDE+2S△ABC，①　　另一方面S=SAC

3、GF+SHGKD+2S△ABC．②　　由①，②　　　　所以c2=a2+b2．　　定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．证(1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①　　在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②　　又BD2=(BC-CD)2，③①③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2　　　=AC2-CD2

4、+BC2+CD2-2BC·CD　　　=AC2+BC2-2BC·CD，　　即c2=a2+b2-2a·CD．④(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤　　在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥　　又BD2=(BC+CD)2，⑦　　将⑥，⑦代入⑤得：AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2　　　=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD　　　=AC2+BC2+2BC·CD，　　即c2=a2+

5、b2+2a·cd．⑧　　综合④，⑧就是我们所需要的结论　　特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，　　(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；　　(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；　　(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．　　勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．6兴趣点燃动力心态成就未来　　例题精讲例1如图2-21所示．已

6、知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．　　分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，　　所以AF=AB．①　　在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以AG=FG，　　AF2=AG2+FG2=2FG2．②　　由①，②得A

7、B2=2FG2．例2如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD．①　　在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD．②　　①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2)．③　　如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．　　推论△ABC的中线长公式

8、：　　　　　　　　　　说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．　　6兴趣点燃动力心态成就未来例3如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方