(内容提要)-2--插值与拟合.doc

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1、第二章插值与拟合一、基本内容提要1.插值法的定义设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使成立，就称为的插值函数(InterpolatingFunction)，点为插值节点(InterpolationKnot)，包括插值节点的区间称为插值区间(InterpolationInterval)，求插值函数的方法称为插值法(InterpolationMethod)。若为次数不超过的代数多项式其中的为实数，就称为插值多项式(InterpolationPloynomial)，相应的插值法称为多项式插值。若为分段的多项式，就称为分段插值(P

2、iecewiseInterpolation)。2.插值多项式的误差估计若在上用近似，则称为插值多项式的截断误差（或余项）。4.Lagrange插值多项式给定，多项式称为关于的次Lagrange插值多项式。5．差商(DividedDifference)的定义设有函数，为一系列互不相等的点，称为关于点的一阶差商（也称均差）。一般的，称为关于点的阶差商。6．差商的性质（1）各阶差商均具有线性性质，即若分别为关于点的阶差商，且，则有（2）阶差商可表示成的线性组合，即其中的。（3）若是次多项式，则一阶差商是次多项式。7.Newton插值多项式称为Newt

3、on插值多项式。插值误差为8．Hermite插值多项式设已知函数在互异的节点上的函数值和导数值，要求一个至多次的插值多项式，满足条件满足条件(2-39)的多项式称为Hermite插值多项式。其形式为9．三次样条函数若函数在区间上有连续二阶导数，且在每个小区间上是三次多项式，其中是给定节点，则称为节点上的三次样条函数。若在节点上给定函数值，并成立则称为三次样条插值函数。10.曲线拟合的定义曲线拟合又称函数逼近，是指“对一个复杂函数，求出一个简单的便于计算的函数，它要求使与的误差在某种度量意义下最小”。11.残差的定义及衡量准则如果设表示按拟合直线

4、求得的近似值，一般的，它不同于实测值，我们称两者之差为残差(Residual)。残差的大小是衡量拟合好坏的重要标志，经常采用的三种衡量的准则为：（1）使残差的最大绝对值最小，即（2）使残差的绝对值之和最小，即（3）使残差的平方和最小，即12.曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘问题可以描述为：根据已知的数据组，选取一个近似函数，使得最小。这种求近似函数的方法称为曲线拟合(CurveFitting)的最小二乘法，函数称为这组数据的最小二乘函数(MethodOfLeastSquares)。13.正交多项式及其性质设是上首项系数的次多项式，为上权函

5、数，如果多项式序列满足关系式则称该多项式序列为在上带权正交，称为上带权的次正交多项式（OrthogonalPolynomials）。这样只要给定区间及权函数，均可从一族线性无关的幂函数出发，根据逐个正交化过程构造出正交多项式序列，分别为：，这样得到的正交多项式序列有以下性质：（1）是具有最高次项系数为1的次多项式；（2）任何次多项式均可表示为的线性组合；（3）当时，＝0，且与任意次数小于的多项式正交；（4）成立递推关系其中，，，这里（5）设是在上带权的正交多项式序列，则的个根都是在区间内的单重实根。常用的正交多项式有Chebyshev多项式、L

6、egendre多项式、Laguerre多项式和Hermite多项式。