2013高等数学竞赛习题.doc

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1、习题（五）练习5-11、选择题(1)设函数在上连续，在内可导，且，则在开区间内(　)(A)　至少存在一点，使得　　(B)　任一点，总有(C)　至少存在一点，使得　　(D)　任一点，总有(2)函数在区间上满足拉格朗日中值定理的为(　　)(A)　　　　(B)　0　　(C)　　　(D)　1*(3)设函数在上可导，，且，则方程在内(　　)(A)　没有实根　　　　　　　　　　(B)　有且仅有一个实根(C)　有且仅有两个不同的实根　　　(D)　至少有两个不同的实根2、填空题(1)函数在区间上满足罗尔定理的点　　　　　　(2)设函数，则应用罗尔定理就可以说明方程有且仅有　个实根，它们属于的区间为　

2、　　　　　　　　　　　　　　　　　*(3)设函数、、区间为，则在上满足拉格朗日中值定理即的　　　　　　；在上满足拉格朗日中值定理即的　　　　　　；、在上满足柯西中值定理即的　　　　　　3、证明恒等式：当时，。4、设函数在上连续，在内可导，且，，试证：在内存在，使得成立。5、设函数在上可导，且，在内，试证：在内方程有且仅有一个实根。*6、设函数在闭区间上二阶可导，，且，试证：。练习5-21、选择题(1)极限的值为(　)(A)　2　　　(B)　1　　　(C)　0　　(D)　不存在(2)当时，是的(　　　)(A)高阶无穷小　(B)低阶无穷小　(C)等价无穷小(D)同阶但非等价无穷小(3)已

3、知函数在点连续，则为(　　　)(A)　　　(B)　　　(C)　　(D)　12、填空题(1)　　　　　　(2)当时，是的高阶无穷小，则　　　　、　　　　(3)已知函数在点可导，则　　　　、　　　　3、求下列极限(1)，　　　　　　　　　(2)，　(3)，　　　　　　　　　(4)，　(5)，　　　　　　　　　(6)，　(7)，　　　　　　　(8)，　(9)，　　　　　　　　　　(10)，　*(11)，　　　　　　*(12)。*4、求极限。*5、设函数具有二阶导数，在的某去心邻域内，且，，试求极限。练习5-31、选择题　(1)函数的极值点　(　　　)　(A)　是函数的驻点　　　　　　　　(

4、B)　是函数导数不存在的点(C)是函数的驻点或导数不存在的点(D)不是函数的驻点也不是导数不存在的点　*(2)已知函数满足：，且(其中)，则(　　　)　(A)　不是函数的驻点(B)　不是函数的极值点　(C)　是函数的极大值点　(D)　是函数的极小值点*(3)已知函数在的某一个邻域内可导，且，则　(　　　)　(A)　不是函数的驻点　　(B)　不是函数的极值点　(C)　是函数的极大值点　　(D)　是函数的极小值点2、填空题　(1)函数在区间　　　　是单调增加的。　(2)无论取任何实数，方程有且仅有　　　　个实根。　(3)已知函数在处取得极值，则　　　　3、证明下列不等式：　(1)当时，　

5、(2)当时，　(3)当时，*(4)当时，4、设在取得极值，且与相切于，求p、m、n的值。5、求函数的单调区间和极值。*6、已知函数在上具有二阶导数，且，试证：在内单调增加。练习5-41、填空题　(1)函数在区间上的最大值为　　　　，最小值为　　　　。　(2)函数在区间上的最大值为　　　　，最小值为　　　　。　(3)函数在区间上的最小值为　　　　。　(4)函数在区间上的最大值为　　　　。2、要设计一个容积为定值的圆柱形敞口容器，已知底面单位面积的造价是侧面单位面积的造价的一半，问容器的半径和高取何值时其用料最省。3、在椭圆内嵌入边平行于坐标轴的矩形，求这些矩形中的面积最大值。*4、将长

6、为的铁丝切成两段，其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长度各为多少？*5、讨论方程有几个实根。(a>0)练习5-51、填空题　(1)求函数极值的牛顿法迭代公式为　　　　　　　　　　　　，其几何意义是为求函数的驻点，在曲线上过作切线　　　　与轴相交于点，因此牛顿法也称为牛顿切线法。　(2)黄金分割法也称为　　　　法，是求　　　　函数(即只有一个极值的函数)极值的一种缩短搜索区间的试探方法。2、用黄金分割法求函数在区间上的极值点，要求精度为。练习5-61、选择题　(1)曲线的拐点为(　　　)　(A)　　　(B)　　　　(C)　　　(D)　　(2)

7、若，，则下列选项不正确的(　　　)　(A)是曲线的拐点(B)是函数的驻点　(C)是函数的极值点　　(D)是函数的极值点　(3)曲线(　　　)　(A)　仅有水平渐近线　　　　　　　　　(B)　仅有铅直渐近线　(C)　既有水平渐近线，又有铅直渐近线　(D)　既无水平渐近线，又无铅直渐近线2、填空题　(1)函数在区间　　　　是凹的。　(2)已知点是曲线的拐点，则　　　　、　　　　　(3)设函数在处具有连续的二阶导数，且点是曲线上的拐点，则极限　　　　　　　　3、