排列组合、二项式定理与概率(学生.doc

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1、排列、组合、二项式定理是自主招生必考的内容之一。这类试题相对于其他试题来说，具有较强的独立性，它通常以实际问题为背景，主要考查分析问题、解决问题的能力以及应用意识和实践能力。对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且要学会逆向运用和变式使用，有时先作适当变形后再展开；有时需适当配凑后逆用二项式定理。二项式定理及其展开式系数的性质是解决许多数学问题的重要工具，如：整除或求余数（余式）问题，组合数的求和式组合恒等式的证明问题，近似计算问题等等。对于利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；对于处理整除性问题，往往构造对偶式或利用与递推式的结合。概率也是自主招生必

2、考内容之一，这类试题通常与实际联系较为密切，相对于其它知识，具有较强的独立性，主要考查五类事件（随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重合试验）的概率、古典概型与几何概型、条件概率、离散型随机变量的概率分布与方差，考查应用意识、实践能力以及推理论证能力。另外自主招生考试中还常常将本部分内容有多项式、数论等知识结合，难度一般较大。一、补充知识1、二项式系数之间有如下性质：①＝2n；②C＝C，0≤r≤n；③C＋C＝C④当n为偶数时，CC>…>C；当n为奇数时，CC>…>C。2、求值：3、①计算4、如果事件A1，A2，…A

3、n彼此互斥，那么有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).5、如果事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).6、条件概率：在事件A已经发生的条件下，事件B发牛的概率称为条件概率，记为P(B｜A)．我们有P(AB)=P(A)P(B｜A)．即P(B｜A)=注意P(B｜A)，P(B)，P(A｜B)的不同．P(B)是事件B上发生的概率(没有条件)；P(B｜A)是A已经发生的条件下，B发生的概率；P(A｜B)是B已经发生的条件下，A发生的概率．7.费尔马小定理：对于任意自然数a以及任

4、一素数p，差ap-a可被p整除.证明(1+a)p＝1+Cp1a+Cp2a2+…+Cprar+…+Cpp-1ap-1+ap.显然，Cp1,Cp2,…,Cpp-1都是整数，又因Cpr＝，由于分母r!中各因数都小于p，且p是素数，所以r!中各因数没有一个可整除p，从而必定是整数，即Cpr必定是p的倍数，因此，Cp1a、Cp2a2、…、Cprar、…、Cpp-1ap-1都应当是P的倍数，∴(1+a)p＝1+ap+pm(m∈N).两边同减1+a,得(1+a)p-(1+a)＝ap-a+pm.下面用数学归纳法证明(1+a)p-(1+a)能被p整除.当a＝1时，得2p-2＝1p-

5、1+pm可被p整除.假定a＝k-1时，kp-k能被p整除，因为(1+k)p-(1+k)＝kp-k+pm，所以(1+k)p-(1+k)可被p整除，即a＝k时，成立，故对任何自然数，ap-a+pm可被p整除，从而定理获证.二、常用方法、结论1.；2.①；②；③；④。3.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则①f(x)展开式中各项系数之和为f(1);②奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝；③偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝。4.系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。三、例题

6、解析（基础篇）（一）排列组合：例1：(1)四个不同的小球放入编号1、2、3、4、的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有____种。(2)在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（）A57B49C43D37(3)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图所示），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.(4)在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，上述3名选

7、手之间的比赛场数是（）A．0B．1C．2D．3(5)四面体的顶点和棱的中点共10个点，取4个不共面的点，不同的取法有（）A．150种B．147种C．144种D．141种例28个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.方法提炼：1．在A={a1，a2，…，an}的n个元素中，每次取出r个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列，圆排列有三个特点：第一，无头无尾；第二，按同一方向旋转后仍是同一圆排列；第三，两个圆排列只有在元素不同或者元素相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列.2．圆

8、排列计数公