2020_2021学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.1第2课时不等式的证明学案含解析新人教B版必修第一册.doc

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1、第2课时　不等式的证明内　容　标　准学　科　素　养1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能用综合法、分析法证明简单问题．逻辑推理数学抽象2.能正确区分综合法和分析法的推理特点，灵活选用恰当的方法证明问题．3.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点．掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题.授课提示：对应学生用书第27页[教材提炼]知识点一　综合法综合法是从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．知识点二　反证法反证法是首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．知识点三　分析法分析法的实质

2、就是不断寻找结论成立的充分条件．[自主检测]1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的(　　)A．充分条件　　　　　B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件．答案：A2．实数a，b，c不全为0等价于(　　)A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：不全为0即至少有一个不为0，故选D.答案：D3．在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0所以a2＋b2≥2ab，该

3、证明运用的方法是________．解析：由因导果，易知该证法为综合法．答案：综合法授课提示：对应学生用书第27页探究一　综合法[例1]　(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac0.求证：≤.[证明]　(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc.∵f0，∴≤，∴＋1≤＋1，∴≤.综合法处理问题的三个步骤已知x＋y＋z＝m.求证x2＋y2＋z2≥.证明：∵x＋y＋z＝m，∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2

4、.又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz，∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)．∴x2＋y2＋z2≥.探究二　反证法[例2]　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[证明]　假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1

5、矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．反证法证明问题的一般步骤若x>0，y>0，且x＋y>2，求证与至少有一个小于2.证明：假设与都不小于2，即≥2，≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．∴假设不成立，原命题成立．故与至少有一个小于2.探究三　分析法[例3]　已知a>b>0，求证<－<.[证明]　要证<－<，只需证<<.∵a>b>0，∴同时除以，得<1<，同时开方，得<1<，只需证＋<2，且＋>2，即证<，即证bb>0，∴原不等式成立，即<－<.1.分析

6、法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.已知a>0，b>0，求证＋≥＋.证明：要证＋≥＋，只需证≥＋，只需证()3＋()3≥a＋b，只需证()3＋()3－a－b≥0，即证(－)(a－b)≥0，即(－)2(＋)≥0.∵(－)2(＋)≥0显然成立．∴原不等式成立．