2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.1圆的标准方程学案含解析北师大版必修2.doc

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1、2　圆与圆的方程2．1　圆的标准方程考　纲　定　位重　难　突　破1.掌握确定圆的几何要素．2.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．3.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.重点：掌握圆的标准方程的形式．难点：利用待定系数法求圆的标准方程．疑点：准确把握方程与曲线间的对应关系.授课提示：对应学生用书第47页[自主梳理]一、确定圆的条件1．几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于定长．2．定圆的条件：圆心和半径．二、圆的标准方程三、点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小

2、关系d>rd＝rd

3、已知圆C：x2＋y2＝9，点A(3,4)，则点A与圆C的位置关系是(　　)A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不确定解析：因为＝5>r＝3，所以点A在圆外．答案：C4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　)A．(0，＋∞)B．(－∞，5)C．(0,5)D．[0,5]解析：由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5，又易知m＞0，∴0＜m＜5，故选C.答案：C5．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，半径是圆心到直线x＋y＋3＝0的距离，则圆C的标准方程为________．解析：直线x－y

4、＋1＝0与x轴的交点为C(－1,0)，圆心到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝2授课提示：对应学生用书第47页探究一　直接法求圆的标准方程[典例1]　求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)．(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径．(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．[解析]　(1)由两点间距离公式得r＝＝，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，

5、为(1，－3)．又

6、AB

7、＝＝2，∴半径r＝.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝＝，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.1．直接法求圆的标准方程，就是根据已知条件求出圆心坐标和半径，然后写出标准方程．2．求圆的圆心坐标与半径时，常利用以下圆的性质：(1)圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；(2)圆心到切线之间的距离等于半径；(3)圆心与切点的连线长等于半径；(4)圆心与切点的连线与切线垂直．1．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心为(3,4)，半径等于；(2)圆心为(1，－3

8、)，经过点(－3，－1)；(3)圆心为(2，－5)，且与直线4x－3y－3＝0相切．解析：(1)圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.(2)由两点间距离公式可得圆的半径r＝＝2，于是圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝20.(3)圆的半径即为圆心(2，－5)到直线4x－3y－3＝0的距离，由于d＝＝4，于是圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋5)2＝16.探究二　待定系数法求圆的标准方程[典例2]　在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程．[解析]　解法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝

9、5.因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：解得所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.解法二　由于A、B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)，由AC＝得＝.解得b＝1或b＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；(2)根据题意，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a

10、，b，r的值；(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中