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1、专题三三角函数一、命题趋向综观近年全国各套高考数学试题,我们发现对三角函数的考查有以下一些知识类型与特点:1.三角函数的性质、图像及其变换,主要是的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力,一般要运用和角、差角与二倍角公式,尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体,或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用,注意
2、三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.4.在一套高考试题中,三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题,或选择题与填空题1个,解答题1个,分值在17分—22分之间。在高考试题中,三角题多以低档或中档题目为主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而三角题是高考中的得分点。二、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。(1)注意隐含条件的应用,常值代换:特别是用“1”的代换。(2)角的配凑。α=(α+β)-β,β=-等。(3)升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。(4)化弦(切)法,用正弦定理或
3、余弦定理。(5)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)。2.解答三角高考题的策略。(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化,边角的互化。三、考点点拨考点1三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型:⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力,以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.⑶考查已知三角恒
4、等式的值求角的三角函数值的基本转化方法,考查三角恒等变形及求角的基本知识.例1.(1)(2011年高考辽宁卷理科7)设sin,则()(A)(B)(C)(D)(2)(2011年高考浙江卷理科6)若,,,,则()(A)(B)(C)(D)变式训练(2011年高考福建卷文科9)若∈(0,),且,则的值等于()A.B.C.D.考点2考查的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目,是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用,会用数形结合的思想来解题.例2.(2011年高考天津卷文科7)已知函数其中若的
5、最小正周期为,且当时,取得最大值,则()A.在区间上是增函数B.在区间上是增函数C.在区间上是减函数D.在区间上是减函数变式训练(2011年高考江苏卷9)函数是常数,的部分图象如图所示,则考点3三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件.例3.(2009年高考江苏卷第15题)设向量(1)若与垂直,求的值;(2)求的最大值;(3)若,求证:∥.例4.在△中,角A,B,的对边分别为a,,c.已知向量,,且.(1)求角的大小;(2)若,求角A的值。解:(1)由得; 整理得.即,又.又因
6、为,所以.(2)因为,所以,故.由.即,所以.即.因为,所以,故或,∴或.变式训练已知向量,.(I)若,求值;(II)在中,角的对边分别是,且满足,求函数的取值范围.考点4.解三角形解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式;三角形面积公式;(2)判断三角形形状时,注意边角之间的互化.例5.(2011年高考安徽卷文科16)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,,求边BC上的高.变式训练(2011年高考山东卷文科17)在ABC中,内角
7、A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值;(2)若cosB=,四、强化训练.(2012年高考(天津理))在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则( )A.B.C.D..(2012年高考(天津理))设,则“”是“为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件.(2012年高考(新课标理))已知,函数在上单调递减.则的取值范围是( )A.B.C.D..(2012年高考(浙江理))把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个
8、单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是.(2012年高考(重庆理))设是方程的两个根,则的值为( )A.B.C.1D.3.(2012年高考(上海理))在中,若,则的形状是( )A.锐角三角形.B