初三数学数学总复习系列 圆（二）.doc

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1、圆专项复习【例题精选】：例1：已知：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为2和，公共弦长为2，求的度数。分析：此题要求的度数，但是没有给出图形，由条件我们首先应考虑到应有两种情况：一种是O1、O2分别在另一个圆的外部，另一种是O2在⊙O1的内部。具体求角的度数时不难发现第一种情况，而分别放在两个直角三角形中是可解的。第二种情况，而同样是在两个直角三角形中，同样问题可以得到解决。解：连结O1O2，交AB于C，则O1O2垂直平分AB于C同法可求例2：如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A的直线交两圆于C

2、、D两点，G为CD中点，BG及其延长线交⊙O1、⊙O2于E、F点，连结DF，CE。求证：DF=CE分析：要证DF=CE，由图形可知，DF和CE分别在两个三角形中，因此只要证明问题即可得证。由已知可得DG=CG，，还缺少一个条件，通过连结公共弦AB可得，从而得到，得到，所以DF=CF证明：连结AB例3：如图，已知⊙O与⊙O¢外切于A，过A的直线交⊙O，⊙O¢于B、C，BD切⊙O¢于D交⊙O于E求证：（1）AD平分（2）分析：（1）要证明AD平分，从图形观察，与其它角的关系不十分明显，此题是两圆相外切，这时可以考虑添加辅助线，作两圆

3、的外公切线，把分成两个角，与，可证则的外角，，由此证得，即AD平分（2）要证明，可以构造出两个三角形即，证明这两个三角形相似。证明：（1）过A点作两圆公切线MN，交BD于N，连结CD。（2）例4：如图，已知⊙O和⊙O¢外切于C点，AB是外公切线，延长OO¢交AB延长线于P点，若，求两圆的半径。分析：此题要求两圆的半径，已知外公切线AB的长，，因此要把两圆半径与之联系起来，添加辅助线，构造矩形、直角三角形沟通已知与未知的关系，使问题得到解决。解：连结：OA、O¢B，过O¢作于E点例5：如图，已知，正方形ABCD，边长为a，以A为圆

4、心，以AD为半径作，以D为圆心，以DA为半径作，⊙O与，及AB分别相切于M、N、E，求⊙O的面积分析：要求⊙O的面积，题目给出的条件是两圆相切，圆和直线相切，与半径的关系是考虑问题的关键。这就需要添加辅助线。连结AON为一条直线，连结DO必过M点。这样OA与OD就可用半径来表示。要求⊙O的半径，再把它放到直角三角形中，通过勾股定理列方程，从而找到等量关系，把已知与未知联系起来，求得⊙O的半径。解：连结OD必过M，连结AO并延长必过N，过O作设⊙O的半径为R，则OE=R，AO=a－ROD=a+r例6：如图，已知AB是⊙O的直径，⊙

5、C切⊙O于F，切AB于D，DC交⊙O于E点。求证：ED2=AB·CD分析：要证明ED2=AB·CD，观察图形发现，AB·CD等于小圆半径与大圆直径的乘积，而ED与AB垂直，AB是大圆的直径，可以考虑相交弦定理。解决问题的关键是沟通两圆的半径关系，因为两圆相内切，而连心线或圆心距往往可以起到沟通的作用。证明一：连结OF证明二：连接OF、OE，∵⊙O与⊙C相切。∴O、C、F在一条直线上，且，设⊙O半径为R，⊙C半径为r。∴在Rt中，∵例7：如图，已知四边形BCDE是⊙O的内接四边形，又是⊙H的外切四边形，P、N、M、G为切点，BE，

6、CD延长线交于A点，若，且AP，BC的长为方程的两个根，求DE的长。分析：此题是代数与几何的综合，由已知AP、BC是方程的两根，可求得AP，BC。结合图形发现，题目中直线与圆相切的条件比较丰富，可以考虑切线长定理。要求DE的长，可通过得到比例式，利用相似三角形的周长比等于相似比，求得DE。证明：，且AP、BC是方程的两根。例8：如图，已知，⊙O1是它的外接圆，与⊙O1内切于A点的⊙O2交AB于F，交AC于G，的高，交FG于M，且AD=6，BC=8（1）求证：四边形FEHG是矩形（2）设FE=x，写出矩形FEHG的面积y与x之间的

7、函数关系式，并指出自变量x的取值范围。（3）当矩形FEHG的面积是面积的一半时，两圆的半径有什么关系？并证明你的结论。分析：（1）要证明四边形FEHG是矩形，已知条件有垂直，因此只要证明它是一个平行四边形，即证明FG//BC，也就是证明，这两个角分别为两个圆的圆周角，由于⊙O1与⊙O2相内切，所以只要添加过A点的公切线出现弦切角就可起到沟通两个角的作用，从而使问题得证。（2）要写出矩形EFGH的面积y与EF=x之间的函数关系式，只需要用含有x的代数式表示FG，然后通过矩形的面积公式即可表示出来。（3）当矩形FEHG的面积是面积的

8、一半时，要探求两圆半径的关系，可以通过添加半径，连心线从中找到它们之间的联系，使问题得以证明。（1）证明：过A作两圆的外公切线PQ，（2）解：（3）解：的面积为24即：当矩形FEHG的面积是面积的一半时，FE=MD=3则：⊙O1的半径R与⊙O2的半径r的关系是证