几何体的一种构造单纯体.doc

《几何体的一种构造单纯体.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、几何体的一种构造——单纯体(金飞天津南开大学)我们学习了几何学，对几何体有了一定的了解，当我们知道三维空间中只有五种正多面体时，不禁被它的神秘所吸引。你是否有一种想进一步了解它的冲动呢？我们下面要研究的是一种特殊的几何体——单纯体。单纯体即每个面均为相同多边形的多面体（可以是凹多面体也可是凸多面体）。我们将会证明，只有三角形、四边形和五边形才可能构成单纯体，并着重讨论四边形构成单纯体的情况，包括完成菱形多面体的分类和讨论一般四边形构成单纯体的情况。对于筝形构成单纯凸多面体的分类，我们也已研究清楚，另文发表。

2、菱形多面体为说明如何用菱形构造单纯体，我们先来了解它的一个特例——正6面体（即正方体，它的每个面均是正方形，而正方形是一种特殊的菱形）。如下图，容易知道连接正6面体的一组“面对角线”得到一个正4面体，因此正6面体可以这样构造出：在正4面体的每一条棱上均添加一个相同的正方形，使得正方形的对角线与正4面体的棱重合。类似地，在正6面体或正8面体的棱上添加适当的菱形可得到菱形12面体，如下图所示：同样地，在正12面体或正20面体的棱上添加适当的菱形可得菱形30面体，如下图所示：将所得多面体列表如下：正多面体棱上添加

3、所得多面体所得多面体的顶点数所得多面体的棱数所得多面体的面数正4面体正方形正6面体8126正6面体菱形菱形12面体142412正8面体菱形菱形12面体142412正12面体菱形菱形30面体326030正20面体菱形菱形30面体326030由以上归纳，我们给出一类新的多面体的定义——菱形多面体。菱形多面体：即每个面均为相同菱形的凸多面体。以上的几种菱形多面体人们早已发现，那么菱形多面体有多少种呢？前人并没有论述。下面，我们讨论了关于菱形多面体的分类，得到如下定理。定理：菱形多面体仅有五种，它们是菱形六面体、菱

4、形十二面体、伴菱形十二面体、菱形二十面体和菱形三十面体。证明：以下分四种情况讨论(一)若每个顶点周围仅有三个面菱形多面体的每个面均为四边形，则有4F=2E（1）每个顶点周围有三个面，则有3V=2E（2）欧拉公式V—E+F=2（3）由（1）、（2）、（3）可得V=8、E=12、F=6对应的多面体为菱形6面体。如下图：（二）若有一顶点，其周围有四个面则这个顶点周围的四个角的组合有以下几种情况：1.这个顶点这周围有四个锐角PBCADEG图-1HF如图-1，易知，A、B、C、D四点最多再接一个菱形，否则该点周围面角

5、之和将不小于360度。（1）若A、B、C、D点都接菱形锐角，即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为锐角，由对称性可知A、B、C、D共面,且BC∥AD，如图-2考察四边形ABCD，AB=BC=CD=AD=AC=BD，易知，四边形ABCD不存在，所以这种情况不行。CBDA图-2（2）若B点接锐角，C点接钝角。即∠EBF为锐角，∠FCG为钝角，由平行线所夹角的关系可得∠GDH=∠EBF，∠HAE=∠FCG。考察如图-3多面体，PA=PB=PC=PD，AB=BC=CD=DA=AC，设菱形的长对角线长为2b，短

6、对角线长为2a，易计算得，=，在此条件下，我们通过作图以及模型制作发现这种菱形拼成一个12面体，而且拼法唯一，我们称之为伴菱形12面体。ABCDP图-3（3）若A、B、C、D点都接菱形钝角，即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为钝角。易计算得，该菱形的长短对角线长之比为，它拼成菱形12面体。2．这个顶点周围有三个锐角和一个钝角，如图-4，∠APD为钝角。GFEBCHA图-4DP（1）若A、B、C、D点都接菱形锐角，即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为锐角，由对称性可知A、B、C、D四点共面,且

7、BC∥AD，考察四边形ABCD，AB=BC=CD，BD=AC=AB，易知，四边形ABCD不存在，所以此种情况不行。（2）若B、C点都接菱形钝角，即∠EBF为锐角，∠FCG为钝角，易知，∠GDH=∠EBF，∠HAE=∠FCG，BD=FG=AD，EF=AC=AB=BC，考察图-5多面体，AD=BD，AC=BC，则，≌，∴∠ACD=∠BCD,因此，点D在平面ABC上的投影在∠ACB的角平分线上，又因该多面体为凸多面体，因此点D在平面ABC上的投影在面PBC的一侧，易知此投影在直线BC的左侧，因此与点D在平面ABC

8、上的投影在∠ACB的角平分线上矛盾。PDCBA图-5（3）若A、B、C、D点都接菱形钝角，即∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE均为钝角，设菱形长对角线长为2b，短对角线长为2a，考察梯形ABCD(如图BACD图-6H-6)，AB=BC=CD=2a，AC=BD=AD=2b，易知AH=、HD=，而

9、AC

10、2–

11、AH

12、2=

13、CD

14、2–

15、HD

16、2，即=>=，易知，此种情况该菱形拼成的多面体为伴菱形12面体或菱形20面