函数是数学中的一个基本概念.doc

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1、函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。　　首先要理解，函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。　　函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图象，表格及其他形式表示。编辑本段与函数有关的概念　　在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。　　自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。　　因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函

2、数)有且只有唯一值与其相对应。　　函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。映射定义　　设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a);a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。　　则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变

3、量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）几何含义　　函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图象与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。函数的集合论　　如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得∈f，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。　　当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。　　其特点：　　前域和定义域重合　　单值性：<

4、x,y>∈f∧∈f→y=y’编辑本段定义域、对应域和值域　　输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。　　计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。编辑本段单射、满射与双射函数　　单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x不等于y时有f（x）不等于f（y）。反函数

5、　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=f(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y).。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。　　说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字

6、母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。。　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数。。　　⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；

7、函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）：　　函数y=f(x)反函数y=f^-1(x)　　定义域AC　　值域CA　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数.反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。。　　开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2