线性代数期末复习总结.doc

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1、《线性代数与空间解析几何》小结《线性代数》部分小结：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.√关于：①称为的标准正交基；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.行列式的定义行列式的性质：①按行展开，零行为零，②等行为零，③拆项分和，④初等变换（提取因子，换行变号，倍加不变），比例为零，⑤转置相等.√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若都是方阵（不必同阶）,则（拉

2、普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：（即：所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或伴随矩阵，为中各个元素的代数余子式.√逆矩阵的求法:①：②③√方阵的幂的性质：√设的列向量为,的列向量为，则，为的解可由线性表示.即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵.同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.即：√用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量；用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对

3、角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的逆矩阵：分块对角阵相乘：,分块对角阵的伴随矩阵：√矩阵方程的解法()：设法化成①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,则整体相关；整体无关,则部分无关.（向量个数变动）④少维无关，则多维无关；多维相关,则少维相关.（向量维数变动）①两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.②向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.③

4、向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.（相关有一被表出）向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.（无关无一被表出）④维列向量组线性相关；维列向量组线性无关.⑤若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.(无关加一变相关，后加唯一被表出)⑥矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩，（三秩相等）.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这

5、些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵⑦矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；(行变不改列相关)矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.（列变不改行相关）即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.矩阵的秩如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作向量组的秩向量组的最大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作矩阵等价

6、经过有限次初等变换化为.记作：向量组等价和可以相互线性表示.记作：①矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价矩阵与等价.②向量组可由向量组线性表示有解≤.③向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.（多被少表出，多的必相关）向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.（无关被表出，个数不会多）④向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；⑤任一向量组和它的最大无关组等价.向量组的任意两个最大无关组等价.⑥向量组的最大无关组不唯一，但最大无关组所含向量个数唯一确定.⑦若两个线性无关的向量组等价

7、,则它们包含的向量个数相等.⑧设是矩阵,若，的行向量线性无关；若，的列向量线性无关,即：线性无关.√矩阵的秩的性质：①≥≤≤②③④⑤≤⑥即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若；若⑧等价标准型.⑨≤≤≤⑩：线性方程组的矩阵式向量式矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）线性方程组解的性质：√设为矩阵,若一定有解，当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.是的上限.√判断是的基础解系的条件：①线性无关；②都是的解；③.√一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是的一个解，是的一个解线性无关√与同解（列向量个数相同）

8、,则：①它们的最大无关组相对应,从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.√两个齐次线性线性方程组与同解.√两个非齐次线性方程组与都有解，并且同解.√矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；矩阵与的列向量组等价（