正切函数的定义、图像与性质、教学设计.doc

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1、延川中学教学设计NO:___年级_______学科_____第____周第____课时课题正切函数的定义、图像与性质课型新授课三维目标1、知识与技能（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。2.过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦

2、函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3.情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。重点难点重点:正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点:熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题教学方法合作探究、讲练结合、教学过程备注【创设情境】常见的三角函数还有正切

3、函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35。【探究新知】1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).由此可知，正弦、余弦、

4、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1,0），任意角αxyoTA210°30°的终边与单位圆交于点P，过点A（1,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；P当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此，我们称有向线段AT为角α的正切线。2．正切函数的图

5、象（1）首先考虑定义域：（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：∴的周期为（最小正周期）xy（3）因此我们可选择的区间作出它的图象。O根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”0yx从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线3．正切函数y＝tanx的性质引导学生观察，共同获得：（1）定义域：，（2）值域：R观察：当从小于，时，当从大于，时，。（3）周期性：（4）奇偶性：奇函数。（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。4.正切

6、函数的诱导公式0yx观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关系？我们可以归纳出以下公式：tan(2π＋α)＝tanαtan(－α)＝－tanαtan(2π－α)＝－tanαtan(π－α)＝－tanαtan(π＋α)＝tanα【巩固深化，发展思维】例1．若tanα＝，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。解：∵tanα＝＞0，∴α是第一象限或第三象限的角（1）如果α是第一象限的角，则由tanα＝可知，角α终边上必有一点P（3，2）.所以x＝3，y＝2.∵r＝

7、OP

8、＝∴sinα＝＝，cosα＝＝.(

9、2)如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝＝－，cosα＝＝－.例2．化简：解：原式＝＝＝－.【归纳整理】（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？【学案讲解】：板书设计教后记学后记