全国名校高三模拟试题汇编函数解答题.doc

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1、2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编函数三、解答题1、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)设函数，其中，．当且仅当时，函数取得最小值（Ⅰ）求函数的表达式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）若方程至少有两个不相同的实数根，求取值的集合．解：（Ⅰ）因为函数f(x)当且仅当x＝－2时取得最小值－2∴二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－＝－2Þb＝4且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2Þc＝2∴（Ⅱ）记方程①：2＝x＋a(x＞0),方程②:x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)分别研究方程①和方程②的根的情况：(1)方程①有且仅有一个实数根Þa＜2；方程①

2、没有实数根Þa≥2(2)方程②有且仅有两个不同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不同的非正实数根所以2－a≥0且△＝9－4(2－a)＞0Þ－＜a≤2方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有一个非正实数根所以2－a＜0或△＝0，即a＞2或a＝－综上可知：当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不同的实数根时，－＜a＜2当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根时，a＝－或a＝2综上所述，符合题意的实数a的取值范围是[－,2]2、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)已知函数f(x)的定义域为，且对任意的正实数x、y都有f(x

3、y)=f(x)+f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)=1．（1）求证：f(1)=0；（2）求：；（3）解不等式：f(x)+f(x-3)≤1．解：（1）令x=4，y=1，则f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1)，f(1)=0．（2）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f(1)==+f(16)=0，=-2．（3）设x1、x2＞0，且x1＞x2，于是＞0，＞，∴f(x)为上的增函数．又f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤1=f(4)，∴3＜x≤4．3、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)已知函数（1）求的值；（2）当是否存在最小值？若存

4、在，求出的最小值；若不存在，请说明理由。解：（1）由　　函数的定义域为（－1，1）　　又　　　　…………………………………（6分）（2）任取、　　　　　　　　又……（13分）4、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)定义在R上的函数是奇函数，当且仅当取得最大值。（1）求a、b的值；（2）若方程上有且仅有两个不同实根，求实数m的取值范围。解：（1）由　　又由函数　　当且仅当即　　　　综上…………………………………………………（6分）（2）　　①②令综上所述实数m的取值范围为……………（13分）5、(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)如右图，两条相交成60°角的直路

5、EF和MN交于O，起初甲在OE上距O点3km的点A处，乙在OM上距O点1km的点B处，现在他们同时以4km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向.（1）求行走t小时后两人之间的距离（用t表示）；（2）当t为何值时，甲乙两人之间的距离最近？解：（1）设t小时后，他们两人的位置分别是P、Q，则AP=4t，BQ=4t.…………（1分）①当°;……（3分）②当；……………………………………（4分）③当.…………（6分）∴………………………………………………（7分）（2）由（1）知，当时，即甲、乙两人之间的距离最小为2km…………………………………………………（12分）6、(湖

6、南省长郡中学2009届高三第二次月考)已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，（Ⅰ）若a＞b＞c，a＋b＋c＝0.设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求

7、A1B1

8、的取值范围.（Ⅱ）对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式f（x），使f（x）=0有两个小于1的不等正根，求a的最小值．解：（1）依题意，知a、b≠0∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0∴a＞0且c＜0设x1、x2为交点A、B之横坐标则

9、A1B1

10、2＝

11、x1－x2

12、2＝∵，而a＞0，∴∵，∴∴∴4［（）2＋＋1］∈（3，12）

13、∴

14、A1B1

15、∈（，2）7分（2）设二次三项式为：f(x)=a(x-x)(x-x)，a∈N．依题意知：0＜x＜1，0＜x＜1，且x≠x．于是有f(0)＞0，f(1)＞0．又f(x)=ax-a(x+x)x+axx为整系数二次三项式，所以f(0)=axx、f(1)=a·(1-x)(1-x)为正整数．故f(0)≥1，f(1)≥1．从而　　f(0)·f(1)≥1．　　　　　　　　①另一方面，且由x≠x知等号不同时成立，所以②由①、②得，＞16．又a∈N，所以a≥5．13分7、(2008年重庆一中高2009级第一