2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),3-2导数的应用.doc

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1、一、选择题1．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　)A．π－1B.－1C．πD．π＋1[答案]　C[解析]　f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)在上为增函数∴f(x)的最大值为f(π)＝π－sinπ＝π，故选C.2．(2012·西安模拟)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－30得函数的增区

2、间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2C．m≤D．m<[答案]　A[解析]　由f′(x)＝2x3－6x2＝0得，x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0

3、恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.4．当x≥2时，lnx与x－x2的关系为(　　)A．lnx>x－x2B．lnx0，∴F(x)在[2，＋∞)上为增函数．又∵F(2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，∴F(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，∴即lnx＋x2－x>0，∴lnx>x－x2.5．(2011·湖南理，8)设直线x＝t与函数f(x

4、)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当

5、MN

6、达到最小时t的值为(　　)A．1B.C.D.[答案]　D[解析]　本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值．∵f(x)＝x2，g(x)＝lnx，图象如下∴

7、MN

8、＝f(x)－g(x)＝x2－lnx(x>0)令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－lnx，∴F′(x)＝2x－.令F′(x)＝0，∴x＝，∴F(x)在x＝处最小．6．(文)(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81

9、x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]　C[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算．∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，得x＝9时；当x∈(0,9)时，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0.y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C.(理)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为(　　)A.cmB.cmC.cmD.cm[答案]　D[解析]　设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝π

10、x(400－x2)　(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0所以当x＝时，V取最大值．二、填空题7．如下图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.[答案]　2，－28．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为____．[答案]　a

11、≥1[解析]　由已知得a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0　(x＞1)，∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.三、解答题9．(文)已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)，若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在上的最大值和最小值．[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．由f′(x)≥0

12、，得x≤－1或x≥－；由f′(x)≤0，得－1≤x≤－.因此，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.∴f(x)在x＝－1取得极大值f(－1)＝2，f(x)在x＝－取得极小值f＝.又∵f＝，f(1)＝6，且>，∴f(x)在上的最大值为f(1)＝6，最小值为f＝.(理)(2011·北京理，18)已知函数f(x)＝(x－k)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，