考研数学冲刺概率与数理统计.doc

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1、考研数学冲刺概率与数理统计一、基本概念总结1、概念网络图2、最重要的5个概念（1）古典概型（由比例引入概率）例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？解：例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？解：（分子分母同序）（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数X的数学期望。（2）从乙箱中任取一件产品是次品

2、的概率。解：（1）(变量与事件等价)（2）“从乙箱中任取一件产品是次品”，（等价性）例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。解：正面；差反面次数（3次反面）（1正2反）（2正1反）（3正）（3）分布函数（将概率与函数联系起来）（4）离散与连续的关系例5（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。例6：样本的是已知的，个体（

3、总体）的未知，矩估计：，完成了一个从样本到总体的推断过程。二、做题的19个口诀（概率16个，统计3个）1、概率（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？解：例8：设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。解：（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。例9：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1

4、和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。解：“顾客买下此箱玻璃杯”，“顾客取的一箱中有只残次品”，（1）（2）（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。例10：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？例11：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？解：例12：某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率

5、0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1）全部能出厂的概率α；（2）恰有两台不能出厂的概率β；（3）至少有两台不能出厂的概率θ。解：（1）（2）（3）=1－（0台不能出厂）－（1台不能出厂）（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。例13：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？解：例14：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？解：（5）“先后放回取”是“二项分布”。例15：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红

6、的概率？（6）“直到…才”是“几何分布”。例16：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“抽取次数”，求X的分布律。解：例17：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。解：（7）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。例18：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。解：（8）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。，。（9）二维连续型随机变量的边缘分

7、布由画线决定积分的上下限。例19：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度。解：画线看积分上下限（10）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。例20：设随机变量（X，Y）的分布密度为试求U=X-Y的分布密度。解：，（只能分块）（11）均匀分布用“几何概型”计算。例21：设随机变量（X，Y）的分布密度为试求P(X+Y>1)。解：（12）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数

8、可分离变量并且正概率密度区间为矩形。例22：设X～e（1），（k=1,2）,求：（1）的分布；（2）边缘分布，并讨论他们的独立性；（3）解：（1）写成：清楚一点（2）有不独立（3）例23：如图，f(x,y)=8xy,fX(x)=4x3,fY(y)=4y-4y3，不独立。y1D1O1x例24：f(x,y)=,判断X和Y的独立性。解：可分离变量，正概率密度区间是矩形，故X和Y独立。（13）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差