概率与数理统计考研冲刺题库

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1、⑧正态分布设随机变量X的密度函数为2(x)12f(x)e2，x，2其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分2布，记为X~N(,)。f(x)具有如下性质：1°f(x)的图形是关于x对称的；12°当x时，f()为最大值；23°f(x)以ox轴为渐近线。特别当固定、改变时，f(x)的图形形状不变，只是集体沿ox轴平行移动，所以又称为位置参数。当固定、改变时，f(x)的图形形状要发生变化，随变大，f(x)图形的形状变得平坦，所以又称为形状参数。2若X~N(,

2、)，则X的分布函数为2(t)1x2F(x)e2dt2。。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为2x1(x)e22，x，分布函数为2t1x(x)e2dt2。(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。φ(x)和Φ(x)的性质如下：1°φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；12°当x=0时，φ(x)＝为最大值；2官方网址www.yumingedu.com北大、人大、中财、北外教授创办集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军13°Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0

3、)＝。22X如果X~N(,)，则~N(0,1)。所以我们可以通过变换将F(x)的计算转化为(x)的计算，而(x)的值是可以通过查表得到的。x2x1P(x1Xx2)。分位数的定义。例2．16：设X~N(1,4)，求P(5X7.2)，P(0X1.6)；求常数c，使P(X>c)=2P(X≢c)。例2．17：某人需乘车到机场搭乘飞机，现有两条路线可供选择。第一条路线较短，但交通比较拥挤，到达机场所需时间X（单位为分）服从正态分布N（50，100）。第二条路线较长，但出现意外的阻塞较少，所

4、需时间X服从正态分布N（60，16）。（1）若有70分钟可用，问应走哪一条路线？（2）若有65分钟可用，又应选择哪一条路线？3、随机变量函数的分布随机变量Y是随机变量X的函数Yg(X)，若X的分布函数F(x)或密度函数f(x)知道，则XX如何求出Yg(X)的分布函数FY(y)或密度函数f(y)。Y（1）X是离散型随机变量已知X的分布列为Xx1,x2,,xn,，P(Xxi)p1,p2,,pn,显然，Yg(X)的取值只可能是g(x1),g(x2),,g(xn),，若g(xi)互不相等，则Y的分布列如下：Yg(x1),g(x2),,

5、g(xn),，P(Yy)ip1,p2,,pn,若有某些g(xi)相等，则应将对应的Pi相加作为g(xi)的概率。例2．18：已知随机变量X的分布列为X0,1,2，P111,,333官方网址www.yumingedu.com北大、人大、中财、北外教授创办集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军2求YX的分布列。（2）X是连续型随机变量先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。2(3x1),0x1例2．19：已知随机变量X~f(x)5，求YlnX的密度函数fY(y)。

6、0,其他第二节练习题1、常见分布例2．20：一个袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3个球中的最大号码，试求X的概率分布。2x例2．21：设非负随机变量Ｘ的密度函数为f(x)=Ax7e2，x>0,则A=。例2．22：f(x)f(x)是概率密度函数的充分条件是：12（1）f(x),f(x)均为概率密度函数12（2）0f(x)f(x)112例2．23：一个不懂英语的人参加GMAT机考，假设考试有5个选择题，每题有5个选项（单选），试求：此人答对3题或者3题以上（至少获得600分）的概率？2例2．24：设随

7、机变量X~U（0，5），求方程4x4XxX20有实根的概率。例2．25：设随机变量X的概率密度为1,x[0,1]3f(x)2,x[3,6]90,其他2其使得P(Xk)，则k的取值范围是。3官方网址www.yumingedu.com北大、人大、中财、北外教授创办集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军例2．26：已知某种电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，若它工作了900小时而未0.9损坏的概率是e，则该种电子元件的平均寿命是A．990小时B．1000小时C．1010小时D．1020小时1

8、x

9、例2．27：

10、设随机变量X的概率密度为：(x)e,(x)则其分布函数F(x)是21xe,x0,2（A）F(x)