方差分析(version2)

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1、多元统计学教师:汪冬华电话：64251780E-mail:dhwang@ecust.edu.cn华东理工大学商学院金融系方差分析ANOVA(analysisofvariance)竞争者数量对销售额影响的分析前言方差分析是采用数理统计方法对所得结果进行分析，以鉴别各种因素对研究对象的某些特性值影响大小的一种有效方法。方差分析是通过对试验结果的分析去判断因子是否显著的一种统计方法。方差分析方法是解决具有相同方差的ｋ(k>2)个正态总体的均值是否有显著差异问题的有效方法。方差分析方法的核心是样本偏差平方和的分解。术语试验指标(指标):y因子(因素):A,B,C…因子

2、的水平:A1,A2,…,ArB1,B2,…,Bs水平数:r;s单因子方差分析(one-wayANOVA)两因子方差分析(MANOVA)单因子方差分析(one-wayANOVA)解决一个因子的不同水平的试验结果之间的差异显著性问题。解决一个因子的不同水平对试验结果的影响程度问题。1、模型与假设的提出考虑因子A取r个水平，分析这r个水平对指标y的影响在每个Ai下,重复做m次试验，i=1,2,…,r一般情况，假定在Ai水平下的指标其中要求yij的方差σ2是相同的单因子方差分析数据(表)模型水平重复A1A2…Ai…Ar12…j…my11y21…yi1…yr1y12y2

3、2…yi2…yr2………………y1jy2j…yij…yrj………………y1my2m…yim…yrm假设的提出在单因子方差分析中就是要通过对数据yij的分析去判断μ1,μ2,…μr是否全部相同yij的数据结构形式:yij=μi+εij其中:μi为在Ai水平下yij的平均水平，εij为在第i水平下第j次试验的随机误差即要检验假设H0:μ1=μ2=…=μr是否成立讨论因子A的不同水平对试验结果之间差异的影响是否显著的问题假设的另一种提法ai为因子A的第i水平的效应:ai=μi-μ其中:μ为总的平均水平，yij的数据结构形式:yij=μ+ai+εij其中:μ为总的平均

4、水平，εij为在第i水平下第j次试验的随机误差单因子方差分析数据结构模型，且相互独立即要检验假设H0:a1=a2=…=ar=0是否成立讨论因子A的不同水平的效应是否可以忽略不计的问题2、检验统计量的确定Yij取值不同主要原因有：一是可能A取不同水平所引起的；二是随机误差引起的。偏差平方和的分解是构建适用于方差分析的F统计量的重要工具。是区分条件误差(系统性误差)和随机误差(偶然性误差)的主要方法。偏差平方和的分解数据总的差异可用总偏差平方和ST来表示引入Ai水平的均值(组平均)总的偏差平方和分解总偏差平方和ST:因子A偏差平方和(组间偏差平方和)SA:随机偏差

5、平方和(组内偏差平方和)Se:组内偏差平方和Se:反映了同一水平下的试验值与其平均值的偏差平方和,一般是由偶然因素引起的。组间偏差平方和SA:反映了由于因子水平变化所引起的组平均与总平均的偏差平方和,一般是由条件因素引起的。Ｆ统计量的构建由于,且相互独立，则:由于，所以在H0为真时，在假设H0成立时检验假设H0的拒绝域为其中为显著性水平，是自由度为的F分布上侧分位数。越小，拒绝H0的把握越大，因子A的显著性越高。方差分析表来源平方和S自由度f均方和VＦ比显著性Aer-1n-r***(*)Tn-1判断说明**:高度显著F>F0.01*:显著F0.05

6、01(*):一般显著F0.1

7、,只做1次试验，一般情况，假定在(Ai,Bj)水平组合下的指标yij～N(μij,σ2),i=1,2,…,r;j=1,2,…,s其中要求yij的方差σ2是相同的两因子方差分析数据(表)模型A水平B水平A1A2…Ai…ArB1B2…Bj…Bsy11y21…yi1…yr1y12y22…yi2…yr2………………y1jy2j…yij…yrj………………y1sy2s…yis…yrsA水平B水平A1A2…Ai…Ary.jB1B2…Bj…Bsy11y21…yi1…yr1y12y22…yi2…yr2………………y1jy2j…yij…yrj………………y1sy2s…yis…y

8、rsy.1y.2…y.j…y.syi.