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《高中数学论文：点差法在高考中的应用.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、点差法公式在高考中的应用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理1在椭圆x2y21（a＞b0l与椭圆相交于MN
2、两点，点＞）中，若直线、a2b2P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMNy0b2.x0a2x12y121,(1)证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)a2b2，则有x22y221.(2)a2b2(1)x12x22y12y220.(2)，得a2b2y2y1y2y1b22.x2x1x2x1a又kMNy2y1,y1y22yy.x2x1x1x22xxyb2kMN2.xa同理可证，在椭圆x2y21（a＞b0）中，若直线l与椭圆相交于MN两点，＞、b2a2点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所
3、在的直线l的斜率为kMN，则kMNy0a2x0b2.定理2在双曲线x2y21（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，a2b2点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMNy0b2.x0a2x12y121,(1)(x1,y1)、(x2,y2)，则有a2b2证明：设M、N两点的坐标分别为x22y221.(2)a2b2(1)(2)x12x22y12y220.，得a2b2y2y1y2y1b2.x2x1x2x1a2又kMNy2y1y1y22y0y0.x2x1,x22x0x0x1y0b2kMNx0a2.同理
4、可证，在双曲线y2x210b0l与双曲线相交于MN（a＞，＞）中，若直线、a2b2两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMNy0a2.x0b2定理3在抛物线y22mx(m0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMNy0m.证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则有y122mx1,(1)y222mx2.(2)(1)222m(x1x2).(2)，得y1y2y2y1x2x1(y2y1)2m.又kMNy2y1,
5、y2y12y0.x2x1kMNy0m.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.同理可证，在抛物线x22my(m0)中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则1m.x0kMN注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.典题妙解例1（09年四川）已知椭圆x2y21（a＞b＞）的左、右焦点分别为F1、F2，a2b20离心率e2x2.，右准线方程为2(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点F1的
6、直线l与该椭圆相交于M、N两点，且
7、F2MF2N
8、226，求直线l3的方程.解：（Ⅰ）根据题意，得ec2,a2xa22.ca2,b1,c1.所求的椭圆方程为x2y21.2（Ⅱ）椭圆的焦点为F1(1,0)、F2(1,0).设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P(x,y).由平行四边形法则知：F2MF2N2F2P.由
9、F2MF2N
10、226P
11、26得：
12、F2.33(x1)2y226.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①9若直线l的斜率不存在，则lx轴，这时点P与F1(1,0)重合，
13、F2MF2N
14、
15、2F2F1
16、4，与相矛盾，故直
17、l的斜率存在.由kMNyb2得：yy1.x2ax1x2y21(x2x).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②21(x226.②代入①，得(x1)2x)29整理，得：9x245x170.解之得：x172.3，或x3由②可知，x17不合意.231xy.，从而33ky1.x1所求的直l方程yx1，或yx1.例2.双曲C的中心在原点，以抛物y223x4的点双曲的右焦点，抛物的准双曲的右准．（Ⅰ）求双曲C的方程；（Ⅱ）直l:y2x1与双曲C交于A,B两点，求AB；（Ⅲ）于直l:ykx1，是否存在的数k，使直l与双曲C的交点A,B关
18、于直l':yax4(a常数)称，若存在，求出k；若不存在，明理由．解：（Ⅰ）由y223x4得y223(x2)，3p3，抛物的点是(2,0)，准是x321.32323c2,31,b
