高中数学论文：点差法在高考中的应用.doc

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1、点差法公式在高考中的应用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理1在椭圆（＞＞0）中，若直线

2、与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.定理2在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.定理3在抛物线中，若直线与抛物线

3、相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又..注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.同理可证，在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.典题妙解例1（09年四川）已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点的直线与该

4、椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.解：（Ⅰ）根据题意，得.所求的椭圆方程为.（Ⅱ）椭圆的焦点为、.设直线被椭圆所截的弦MN的中点为.由平行四边形法则知：.由得：.………………………………………………………………………①若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在.由得：………………………………………………………………………②②代入①，得整理，得：.解之得：，或.由②可知，不合题意.，从而.所求的直线方程为，或.例2.设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲

5、线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线与双曲线交于两点，求；（Ⅲ）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线(为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由得，，抛物线的顶点是，准线是.在双曲线C中，.双曲线C的方程为.（Ⅱ）由得：.设，则..（Ⅲ）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线.因而，从而.设线段AB的中点为.由得：，.…………………………………………①由得：.…………………………………………………②由①、②得：.由得：，.又由

6、得：直线与双曲线C相交于A、B两点，＞0，即＜6，且.符合题意的的值存在，.例3.（05全国Ⅲ文22）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（Ⅱ）当时，求直线的方程.解：（Ⅰ），.设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.若直线的斜率存在，则其方程为，.由得：，.若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾.当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.

7、（Ⅱ）当时，由得：.所求的直线的方程为，即练习1.(05湖北)设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（2）略.2.（02江苏）设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？3.(08陕西理20)已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平

8、行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由参考答案1.解：（1）点在椭圆内，＜，即＞12.的取值范围是.由得，，焦点在y轴上.若直线AB的斜率不存在，则直线AB轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x轴上，不合题意，故直线AB的斜率存在.由得：，.所求直线AB的方程为，即.从而线段