导数的综合运用教师版_2014624173035920.docx

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1、2013-2014学年度第二学期期末复习二-------导数的综合应用一、基础训练1.点P是曲线x2－y－＝0上任意一点，则点P到直线x＋y＋4＝0的最短距离是________.15283242.p：f(x)＝x＋2x＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>3，则p是q的_____条件．必要不充分3.已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f(－4)，f(4π)，f(－5π)的大小关系为_______(用“<”连接).34解析∵′()＝sin＋cosx，当x∈5π，4π时，sinx<0，cosx<0，fxxx43∴f′(x)＝sinx＋xcosx<0，5π4π5π4π4π5

2、π则函数f(x)在区间4，3上为减函数，∵4<4<3，∴f(3)

3、f(x)

4、ax恒成立，则a的取值范围是[2,0]ln(x画出函数y=

5、f(x)

6、的图象如图所示,当x0时，g(x)

7、f(x)

8、x22x，g(x)2x2，g(0)2，故a2.当x0时，g(x)

9、f(x)

10、ln(x11)，g(x)x1由于g(x)上任意点的切线斜率都要大于a，所以a0，综上2a0.5.已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若?x1，x2∈R，使得f(x2

11、)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________.解析f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；1当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的最小值为f(－1)＝－e.而函数()的最大值为a，则由题意，可得－1≤a即a≥－1.gxee题型一利用导数研究与不等式有关的问题导数的综合应用---1例1已知定122义在正实数集上的函数f(x)＝2x＋2ax，g(x)＝3alnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：

12、f(x)≥g(x)(x>0).3a2(1)解设两曲线的公共点为(x0，y0)，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝x，1222x0＋2ax0＝3alnx0＋b，由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即32ax0＋2a＝x0.3a21222522由x0＋2a＝x0，得x0＝a或x0＝－3a(舍去).即有b＝2a＋2a－3alna＝2a－3alna.5221令h(t)＝2t－3tlnt(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt).于是当t(1－3lnt)>0，即00；111当t(1－3ln时，h′(t)<0.故h(t)在(0，e3)上为

13、增函数，在(e3，＋∞)上为减函数，于是t)<0，即t>e313232h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e3，即b的最大值为2e3.32(2)证明设F(x)＝f(x)－g(x)＝21x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，x－ax＋3ax(x>0).故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数.于是()在(0，＋∞)上的最小值是()＝(0)＝(x0)－(x0)＝0.FxFaFxfg故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x).3a2则F′(x)＝x＋2a－x＝导数的综合应用---2例2已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax

14、＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋

15、2－a

16、>0.(1)解由题意得f′(x)＝12x2－2a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).当a>0时，f′(x)＝12x－a＋a，6x6此时函数f(x)的单调递增区间为－∞，－a和a，＋∞，单调递减区间为－a，a.6666(2)证明由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋

17、2－a

18、＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.当a>2时，f(x)＋

19、2－a

20、＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.设()＝2x3－2＋1,0≤x≤1，则

21、′()＝6x2－2＝633，gxxgxx－x＋33于是′()，()随x的变化情况如下表：gxgxx033310，333，1g′(x)－0＋()1减极小值增1gx所以，g(x)min＝g3＝1－43>0.所以，当0≤x≤1,2x3－2x＋1>0.故f(x)＋

22、2－a

23、≥4x3－4x＋2>0.39题型二利用导数求参数的取值范围例3已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，