有限及无限说课材料.ppt

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1、有限及无限一、如何理解悖论？悖论中的“无穷观”什么是悖论（paradox）？这里引用逻辑学家A.A.弗兰克的表述：如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论产生了一个悖论。同一理论中可推出两个互相矛盾的命题，即意味着，该理论中存在这样一个命题（悖论）：由其假可推其真，由其真可推其假。悖论举例例1.公元前六世纪克里特岛上的哲学家埃比曼尼德(Epimenides)说的一句话：“所有的克里特岛人都说谎”已知埃比曼尼德本人也是克里特

2、岛人，问：这句话是真话吗？例2.“这句话是假的”，请问：它假吗？例3.“我只给那些不给自己理发的人理发”.问：我给我自己理发吗？（罗素）例4.凡判断皆有例外”.问：这句话有例外吗？例5世界上没有绝对的真理请问：这句话是绝对真理吗？例6任何东西都是不可知的。例7我只知道一件事，那就是什么都不知道。（苏格拉底）。例8下面有两句话是错的.2+3=1，3-3=0，2+2=4.请问：例6，7，8中哪些判断是对的？感想：如果留意观察，则不难发现，悖论就在我们身边。理解：以上悖论有两个特点：自我相关（自我指称），否定命题。阿克琉斯论证：阿克琉斯永远追不上先跑的

3、乌龟。理由：他必须首先跑到乌龟的出发点，因此乌龟必然永远领先。”芝诺悖论（1,2）二分法：运动不存在。理由：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处”悖论1,2的目的是不承认空时的连续性（无限可分性）：如果时间和空间真是连续的，无限可分的，那么，有限的长度包含有无穷多个点，于是就不可能在有限的时间内通过有限的长度，从而证明运动是不可能的。它们涉及到时空稠密性与连续性的区别，涉及到有限长度与无限可分的矛盾悖论3的目的是否定时空的不可分性：如果时间和空间是由不可分的小瞬刻组成的，那么，飞箭在运动的任一小瞬刻必有一个确定的位置，因此是静止的，从而证明运

4、动是不可能的。芝诺悖论（3，4）飞矢不动.理由：飞箭在任一瞬间必静止在一确定的位置上。所以，运动就是许多静止的总和。运动场问题:跑道上有两排物体，大小相同，数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，它们以相同的速度作相反的运动(如图）。结论：一半时间和整个时间相等”。问：时间与空间究竟是否连续（无穷可分）？悖论的理解第四个问题简单，只需考虑相对运动即可。但是，前三个悖论都涉及到无穷，涉及到:又，“在每一个瞬间，运动物体速度都为零（静止）吗”？这涉及到无穷小量的问题。再，任一区间无限可分，即为无穷大量，这个无穷大是实无穷还是潜无穷？这

5、些问题知道19世纪末才能明白回答。芝诺的功绩在于他多次发起关于动和静、无限和有限、连续和离散的关系的讨论。引起人们对他提出的这些悖论的关注与研究。芝诺悖论至今依然回味无穷，还有很多人在研究.“无穷多个数相加可能是有限数吗”？参考：半费之讼（是悖论吗？）相传一个叫欧特勒斯（Euathlus)的人曾拜到Protagoras门下学习诉讼和辩护的方术，双方订立合同：Euathlus入学时交付一半学费，另一半在欧特勒斯毕业后第一次打赢官司时付清。但是，Euathlus毕业后迟迟不出庭替人打官司，因而，另一半学费只能一拖再拖。于是Protagoras向欧特勒

6、斯说：“我决定打官司，如果这场官司中你败诉，那么，根据法庭判决，你应该付给我另一半学费；如果这场官司中你胜诉，那么，按照合同规定，你应付我另一半学费，因为这是你第一次出庭胜诉；总之，不管你胜诉还是败诉，都要付给我另一半学费。”Euathlus反唇相击道：“恰恰相反，如果我在这场官司中败诉，那么，根据合同规定，我用不着付另一半学费，因为我第一次出庭没有打赢官司；如果我在这场官司中胜诉，那么，根据法庭的判决，我也用不着付另一半学费；总之，无论我胜诉还是败诉，都用不着付另一半学费。”二、希腊人的“无穷观”哲学家文献上找到最早提出无限的古希腊是阿那克西曼

7、德（B.C611-B.C547),Thales的学生。他写了一篇最早的科学论文，他得出结论说，原始物质是他称的阿派龙（apeiron）或无限。阿拉克西曼德认为“无限没有开始,但却是其他事物的开始或本原,它是不朽的,不可摧毁的,所以是神圣的。”这个思想后来被原子论者发展了。阿拉克西曼德是第一位思考人类起源的哲学家。他还首次绘制了世界地图而享有荣誉。他第一个认为地球表面是曲面（圆柱）的，赫拉克利特（Heraclitus，约公元前530年—前470年），名言：人不能两次踏入同一河流。理念：世界的本源是火，万物皆变，按一定的规律（逻各斯类似中国的“道”）

8、永恒的变化着。安蒂丰（Antiphon,B.C480-B.C411)安蒂丰是希腊的数学家、辩论家、政治家．有关安蒂丰的生平历来争论不一.