智能传感器第10章教学文案.ppt

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1、智能传感器第10章F(ω)的逆Fourier变换定义为实际应用中，为了计算Fourier变换及其逆Fourier变换，需要用数值积分，取f(t)在实数集R上的离散点值来计算这个积分。设f(t)由采样得到，采样间隔为Δt，f(nΔt)(n=0,1,…,N－1)为采样值，对应的离散Fourier变换和逆Fourier变换为（10-3）（10-4）2.短时Fourier变换　　短时Fourier变换即时间信号加窗后的Fourier变换，其定义为（10-5）式中，w(t)为一个窗口函数。窗口函数w(t)的中心t*与半径Δw分别定义为（10-6）（10-7）这时，wbF(ω)给出了时间信号在时间窗

2、　　　　［t*+b－Δw,t*+b+Δw］（10-8）的局部信息，时间信号f(t)的加窗过程如图10-1所示。图10-1窗口Fourier变换3.小波分析　　如果把短时Fourier变换中的窗口函数wω,b(t)替代为ψa,b(t)，其中：那么式（10-5）变为（10-10）（10-９）该式即为小波变换定义式。对应于式（10-10），小波逆变换为（10-11）比较式（10-5）与式（10-10），可以看到短时Fourier变换与小波变换之间的类似性，它们都是函数f(t)与另一个具有两个指标函数族的内积。对于ψ(t)的一个典型的选择是：（10-12）它是Gauss函数二阶导数，有时称这

3、个函数为墨西哥帽函数，因为它像墨西哥帽的截面。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化功能，函数图形如图10-2所示。图10-2墨西哥帽函数图形短时Fourier变换与小波变换之间的不同可由窗口函数的图形来说明，如图10-3所示。对于wω,b，不管ω值的大小，具有同样的宽度。相比之下，ψa,b在高频（1/a相当于Fourier变换中的ω，a越大，频率越低）时很窄，低频时很宽。因此，在很短暂的高频信号上，小波变换能比窗口Fourier变换更好地进行“移近”观察。图10-3(a)窗口Fourier变换函数wω,b的形状；(b)小波ψa,b的形状10.1.2离散小波如果a，b都是离散值。这

4、时，对于固定的伸缩步长a0≠0，可选取a=am0,m∈Z，不失一般性，可假设a0>0或a0<0。在m=0时，取固定的b0(b0>0)整数倍离散化b，选取b0使ψ(x－nb0)覆盖整个实轴。选取a=am0,b=nb0am0，其中m,n取遍整个整数域，而a0>1，b0>0是固定的。于是，相应的离散小波函数族为（10-13）对应的离散小波变换系数为（10-14）离散小波逆变换为（10-15）式中，C为一常数。10.1.3小波级数对应于Fourier级数的定义：k=0,±1,…，±∞（10-14）式中，同样可以定义小波级数：（10-15）式中称这两个无限级数为“小波级数”，并且是L2(R)收敛的，

5、即cj,k和dj,k的绝对值随着j和k的增大，最终趋于0;f(x)在实数域内能量有限。10.1.4多分辨分析1.多分辨分析的概念　　如何由f(x)∈L2(R)出发，使由fk,n(x)张成L2(R)的闭子空间（10-16）{f(x－n):n∈ZZ}是V0的一个Riezz基，f(x)称为尺度函数，这就是多分辨分析。设f(x)生成一个多分辨分析{Vk}，由于f(x)∈V0V1，所以f(x)可以用V1的基底{f1,n:n∈ZZ}表示。由于{f1,n:n∈ZZ}是V1的一个Riezz基，所以存在唯一l2序列{pn}，即离散的，且其平方和为有限值的{pn}，使（10-17）式（10-17）

6、即为函数f(x)的两尺度关系，系列{pn}称为两尺度序列。对于模为1的复数z，引入如下记号（10-18）称为序列{pn}的符号。对式（10-17）两边作Fourier变换，则得到两尺度关系式（10-19）z=e－jω/2同样地，由于ψ(x)∈W0V1，所以存在唯一l2序列{qn}，使⊂（10-20）引入序列{qn}的符号（10-21）对式（10-20）两边作Fourier变换，类似地得到（10-22）z=e－jω/22.分解算法与重构算法由前所述可知，对于f(x)∈L2(R)，它有唯一分解：（10-23）式中，gk(x)∈Wk。令fk(x)∈Vk，则有：fk=gk－1(x)+gk－2(x

7、)+…（10-24）并且fk(x)=gk－1(x)+fk－1(x)（10-25）令（10-26）在

8、z

9、=1上，作函数（10-27）则（10-28）对于符号G(z)、H(z)的序列{gn}，{hn}∈l1，存在如下的分解关系式：，l∈ZZ(10-29)若令an=g－n/2，bn=h－n/2，则(10-29)式变成：l=0，±1,±2,…(10-30)为计算方便及以免产生混淆，有：（10-31）（10-32