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1、数学建模详解时刻t已感染人数(病人)i(t)每个病人每天“有效接触”(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人,则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模×模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为.2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病.建模~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高峰到来时刻(日接触率)tmlogistic模型病人可以治愈！t=tm,di/dt最大×模型3传染病无免疫
2、性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.mls/=模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数1-1/i0idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲线增长接触数(感染期内每个病人的有效接触人数)i(t)单调下降模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称
3、移出者.SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为.2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模需建立的两个方程.模型4SIR模型用MATLAB求数值解无法求出的解析解模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫模型4预防传染病蔓延的手段降低日接触率提高日治愈率提高移出比例r0以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.
4、1/s0i0sim10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200,s0(r0)s,i
5、ms,im传染病模型模型1模型2(SI)模型3(SIS)模型4(SIR)区分病人和健康人考虑治愈模型3,4:描述传播过程,分析变化规律,预报高峰时刻,预防蔓延手段.3.2经济增长模型发展经济增加投资增加劳动力提高技术建立产值与资金、劳动力之间的关系.研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大.调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长.1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0(常数)模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着
6、y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01.Douglas生产函数Douglas生产函数产值Q,资金K,劳动力L,技术f0~资金在产值中的份额1-~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数~单位资金创造的产值~单位劳动力创造的产值w,r,K/L求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大.资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使
7、Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)劳动力相对增长率为常数Bernoulli方程3)经济增长的条件产值Q(t)增长dQ/dt>03)经济增长的条件~劳动力相对增长率每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>03)经济增长的条件劳动力增长率小于初始投资增长率稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定.不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳
8、定性.3.3军备竞赛竞赛描述双方国家军备竞赛过程.解释(预测)双方军备竞赛的结局.假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力.进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.目的建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备
