数字图像处理第2章演示教学.ppt

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1、数字图像处理第2章傅立叶变换一维连续函数的傅立叶变换对定义为：（2.1.1）（2.1.2）2.1.1二维离散傅立叶变换（2.1.3）二维离散傅立叶变换(DFT)二维离散傅立叶变换的性质图2.1.1二维傅立叶变换的频谱分布2.1.2数字图像傅立叶变换的频谱分布和统计特性1．数字图像傅立叶变换的频谱分布数字图像的二维离散傅立叶变换所得结果的频率成分如图2.1.1所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅立叶频率位移的性质，只需要用f(x，

2、y)乘上因子进行傅立叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。图2.1.2频率位移示例图2.1.2给出了二维离散傅立叶变换的频率位移特性示例。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，如果在数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达到数据压缩的目的。2．图像傅立叶变换的统计分布（1）傅立叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分量，根据公式（2.1.9），它反映了原始图像的平均亮度。（

3、2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85％的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。(a)Lena(b)Barbara(c)Mandrill图2.1.3国际上流行的三幅标准图像傅立叶变换应用举例去除正弦波噪声去除白噪声l    信号分析，包括

4、滤波、数据压缩、电力系统的监控等；l    研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。l    概率与统计，量子力学等学科。2.2离散余弦变换(DiscreteCosineTransform)如果一个函数f(x)为偶函数，即f(x)=f(-x)，求此函数的傅立叶变换如下：（2.2.1）一维离散余弦变换设{f(x)

5、x=0，1，…，N-1}为离散的信号序列，一维DCT变换对定义如下：（2.2.2）u=0，1，2，…，N－1x=0，1，2，…，N－1二维离散余弦变换正、反变换核为：（2.2.3）DCT的变换核具有可分离性

6、，而且二维DCT的正反变换核是相同的。DCT变换频谱示意图与变换核为复指数的DFT相比，由于DCT的变换核是实数的余弦函数，因此DCT的计算速度要快，广泛应用于数字信号处理，如图像压缩编码、语音信号处理等方面。DCT变换的意义加窗傅立叶变换-Gabor变换傅立叶变换对:2.3加窗傅立叶变换(2.3.1)加窗傅立叶变换离散信号加窗傅立叶变换对:(2.3.2)图2.3.1STFT示意图图2.3.2lenna图加窗傅立叶变换的频谱2.3.1Gabor变换的基本概念a，b为常数(a代表栅格的时间长度，b代表栅格的频率长度)，如图2.3.3所示。图2.3.3Gab

7、or展开的取样栅格图2.3.4h(t)的位移和调制图示高斯函数有紧支撑的适度光滑函数Gabor变换最初提出时，指定用了高斯窗加窗傅立叶变换的不足:时-频窗的形状对时频精细化程度的影响时频窗的面积加窗傅立叶变换的优点:能够对信号进行时-频局部化分析不能自适应的调整时-频窗小波变换2.5小波变换2.5.1小波变换的发展历程：1910年，Harr函数系在工程界常用1946年，Gabor创立了时-频相位空间理论，这是早期的非正交小波展开1981年，法国地质物理学家Morlet首先（第一次）提出了小波分析的概念2.5.2什么是小波（Wavelets）小波变换是一种

8、工具，它把数据、函数或算子分割成不同频率的成分，然后再用分解的方法去研究对应尺度下的成分。小波分析时傅立叶分析发表近两个世纪以来最佳的继承、总结和发展小波变换是一种时频局部化或称为时频定位的工具，有数学‘显微镜’之称，同时它还具有良好的‘自适应性质’无时-频定位信息可以获得时间局部化的信息进行时-频定位的一种标准方法小波变换与加窗傅立叶变换的相似与不同：窗口傅立叶变换函数和小波变换函数的对比2.5.4二维离散小波变换图2.5.1二级小波变换示例小波变换在图像压缩中的应用2.5.5小波变换应用工程、物理及纯数学领域图像处理与传输、信号处理、模式识别、地震探

9、测、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、机器视觉、机械故障诊断与监控以及H